Để chứng minh đẳng thức:
\[
\frac{(a^{2018} + b^{2018})^{2019}}{(c^{2018} + d^{2018})^{2019}} = \frac{(a^{2019} - b^{2019})^{2018}}{(c^{2019} - d^{2019})^{2018}
\]
cho các số dương \(a, b, c, d\) với điều kiện \(c \neq d\) và \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), với \(k > 0\). Khi đó ta có:
\[
a = kb \quad \text{và} \quad c = kd
\]

Bây giờ ta tính \(a^{2018} + b^{2018}\) và \(c^{2018} + d^{2018}\):
\[
a^{2018} + b^{2018} = (kb)^{2018} + b^{2018} = b^{2018}(k^{2018} + 1)
\]
\[
c^{2018} + d^{2018} = (kd)^{2018} + d^{2018} = d^{2018}(k^{2018} + 1)
\]

Sau đó, ta tính các lũy thừa:
\[
(a^{2018} + b^{2018})^{2019} = \left(b^{2018} (k^{2018} + 1)\right)^{2019} = b^{2018 \times 2019} (k^{2018} + 1)^{2019}
\]
\[
(c^{2018} + d^{2018})^{2019} = \left(d^{2018} (k^{2018} + 1)\right)^{2019} = d^{2018 \times 2019} (k^{2018} + 1)^{2019}
\]

Bây giờ đến phần bên phải của đẳng thức:
\[
a^{2019} - b^{2019} = (kb)^{2019} - b^{2019} = b^{2019}(k^{2019} - 1)
\]
\[
c^{2019} - d^{2019} = (kd)^{2019} - d^{2019} = d^{2019}(k^{2019} - 1)
\]

Tính lũy thừa:
\[
(a^{2019} - b^{2019})^{2018} = \left(b^{2019} (k^{2019} - 1)\right)^{2018} = b^{2019 \times 2018} (k^{2019} - 1)^{2018}
\]
\[
(c^{2019} - d^{2019})^{2018} = \left(d^{2019} (k^{2019} - 1)\right)^{2018} = d^{2019 \times 2018} (k^{2019} - 1)^{2018}
\]

Thay thế vào đẳng thức ban đầu:
\[
\frac{(a^{2018} + b^{2018})^{2019}}{(c^{2018} + d^{2018})^{2019}} = \frac{b^{2018 \times 2019}(k^{2018} + 1)^{2019}}{d^{2018 \times 2019} (k^{2018} + 1)^{2019}} = \frac{b^{2018 \times 2019}}{d^{2018 \times 2019}}
\]

Và cho phần bên phải:
\[
\frac{(a^{2019} - b^{2019})^{2018}}{(c^{2019} - d^{2019})^{2018}} = \frac{b^{2019 \times 2018}(k^{2019} - 1)^{2018}}{d^{2019 \times 2018}(k^{2019} - 1)^{2018}} = \frac{b^{2019 \times 2018}}{d^{2019 \times 2018}}
\]

Để chứng minh \(\frac{(a^{2018}+b^{2018})^{2019}}{(c^{2018}+d^{2018})^{2019}} = \frac{(a^{2019} - b^{2019})^{2018}}{(c^{2019} - d^{2019})^{2018}}\), chúng ta cần chứng minh:
\[
\frac{b^{2018 \times 2019}}{d^{2018 \times 2019}} = \frac{b^{2019 \times 2018}}{d^{2019 \times 2018}}
\]

Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng cả hai vế đều giống nhau do cùng tỷ lệ \(b/d\) ở lũy thừa khác nhau. Do đó, ta đã chứng minh được tính đúng đắn của đẳng thức ban đầu.

Kết luận, ta đã hoàn thành chứng minh.