Chứng minh giá trị của S không phải là số nguyên

Để chứng minh giá trị của \( S \) không phải là số nguyên, ta có thể biểu diễn \( S \) dưới dạng:

\[
S = \sum_{n=1}^{2024} \frac{n^2 - 1}{n^2} = \sum_{n=1}^{2024} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)
\]

Khai triển \( S \):

\[
S = \sum_{n=1}^{2024} 1 - \sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{n^2} = 2024 - \sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{n^2}
\]

Giá trị của \( \sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{n^2} \) là một số thực dương khác biệt với total \( 2024 \). Ta có thể ước lượng khoảng giá trị của \( \sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{n^2} \):

Biết rằng:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493
\]

Vì vậy, với \( n = 2024 \):

\[
\sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{n^2} < \frac{\pi^2}{6}
\]

Nhưng \( \sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{n^2} \) sẽ là một số cụ thể, khoảng \( 1.6 \). Do đó, ta có:

\[
2024 - \sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{n^2} \text{ là một số có phần thập phân.}
\]

Vậy \( S \) không phải là số nguyên.