Để giải bài toán này, ta cần phân tích hai mệnh đề \( P \) và \( Q \):

1. **Mệnh đề \( P \)**: "\(\exists x \in \mathbb{N}, x^2 + 4x - 6 > 0\)"
2. **Mệnh đề \( Q \)**: "\(\forall x \in \mathbb{N}, x^2 + 4x \leq \alpha + b\)"

Mệnh đề phủ định của \( P \) được viết là:

\[
\neg P: \forall x \in \mathbb{N}, x^2 + 4x - 6 \leq 0
\]

Để xác định giá trị của \( a \) và \( b \) trong mệnh đề phủ định, ta cần phân tích bất phương trình \( x^2 + 4x - 6 \leq 0 \).

Giải phương trình:

\[
x^2 + 4x - 6 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}
\]

Khoảng nghiệm của bất phương trình \( x^2 + 4x - 6 \leq 0 \):

Các bất phương trình có nghiệm:

- \( x \) có thể nhận giá trị từ \( -2 - \sqrt{10} \) đến \( -2 + \sqrt{10} \)
- Tuy nhiên, \( x \in \mathbb{N} \), do đó ta chỉ cần xét các giá trị nguyên không âm.

Xác định các giá trị:

- Tính giá trị \( -2 + \sqrt{10} \approx 0.162\), tức là \( x \) lớn nhất nhận giá trị \( 0 \).
- Kiểm tra tại \( x = 0 \) và \( x = 1 \):
- \( x = 0 \) : \( 0 \leq 0 \) (đúng)
- \( x = 1 \) : \( 1 + 4 - 6 = -1 \leq 0\) (đúng)

Mệnh đề \( Q \) sẽ là:

\[
\forall x \in \mathbb{N}, x^2 + 4x \leq \alpha + b
\]

Ta cần chọn một \( a \) và \( b \) sao cho \( x^2 + 4x \) lớn nhất trong các giá trị thuộc \( x \in \mathbb{N} \) giữ cho \( x^2 + 4x \leq \alpha + b \). Để giải thích mệnh đề này, ta chọn:

- \( a = 0 \) (giá trị nhỏ nhất)
- \( b = 0 \)

Kết luận:

- Tổng \( a + b = 0 + 0 = 0 \).

Vậy kết quả là:

\[
\text{Tổng } a + b = 0.
\]