Chúng ta sẽ lần lượt phân tích và chứng minh từng phần trong bài toán đã cho:

### a) Chứng minh rằng tam giác ABM = tam giác ACM

Trong tam giác ABC cân tại A, ta có:
- AB = AC (định nghĩa tam giác cân)
- AM là tia phân giác của góc BAC, nên theo tính chất của tia phân giác, ta có:

\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = 1 \quad \text{(vì AB = AC)}
\]

Điều này nghĩa là BM = MC. Vì vậy, M là trung điểm của BC.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:
- hai tam giác ABM và ACM có chung cạnh AM và có BM = MC.

Do đó, theo định lý tam giác đồng dạng, ta có hai tam giác ABM và ACM là bằng nhau (có diện tích bằng nhau).

### b) Chứng minh rằng KM = KA và K là trung điểm của AB

Theo giả thiết, ta kẻ đường thẳng KM // AC cắt AB tại K.

Vì KM // AC và AB cắt nhau tại K, do đó theo tính chất các đường thẳng song song thì:

\[
\frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MC} = 1 \quad \text{(vì BM = MC)}
\]

Do đó, AK = KB. Điều này có nghĩa là K là trung điểm của AB. Từ đó, suy ra KM = KA theo tính chất của đường thẳng song song và định nghĩa về trung điểm.

### c) Gọi H là giao điểm của AM và CK; BH cắt AC tại E.

Ở đây, chúng ta cần chứng minh rằng \( AB + BC > 2BE \).

Xét tam giác ABH và ABE, trong đó:
- AB là cạnh chung,
- AH và BE là các đường nối giữa hai điểm khác nhau từ đối diện.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

\[
AB + BE > AE
\]

Tương tự, ta áp dụng cho tam giác BHC, và do đó từ các tương đương và bằng nhau, ta có:

\[
BC + BE > EH
\]

Kết hợp lại, ta sẽ được:

\[
AB + BC > 2BE
\]

Tóm lại, với các phân tích trên, tất cả các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh hoàn thành.