Để tính \( A = \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \ldots + \frac{1}{3843} \), trước hết ta cần xác định mẫu số của các phân số này.

Mẫu số của các phân số có dạng:
- \( 15 = 3 \times 5 \)
- \( 35 = 5 \times 7 \)
- \( 63 = 7 \times 9 \)
- ...

Nhận thấy mẫu số có thể được viết thành \( n(n + 2) \) với \( n \) là số lẻ bắt đầu từ 3.

Vì vậy, ta có thể viết:
\[
A = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)}
\]

để xác định các mẫu số từ 15 đến 3843. Đầu tiên, ta tìm \( n \) sao cho \( 2k + 1 \) tới \( 3843 \). Giải phương trình \( 2k + 3 = 3843 \) sẽ cho \( k = 1920 \), do đó số hạng cuối cùng của chuỗi sẽ tương ứng với \( k = 1920 \).

Áp dụng phân tích phân số:
\[
\frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k + 1} - \frac{1}{2k + 3} \right)
\]

Sau đó, viết lại tổng \( A \):
\[
A = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{1920} \left( \frac{1}{2k + 1} - \frac{1}{2k + 3} \right)
\]

Khi tính tổng này, nhiều hạng tử sẽ tự khử nhau, và ta nhận được:
\[
A = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3845} \right)
\]

Tính giá trị:
\[
A = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3845} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1281}{3845} \right) = \frac{1281}{7690}
\]

Vậy tổng \( A \) là:
\[
A = \frac{1281}{7690}
\]