Tìm x, y nguyên để xy + 2x - 2y = 0

Chúng ta có phương trình sau:

\[ xy + 2x - 2y = 0. \]

Chúng ta có thể biến đổi phương trình này để tìm x và y:

1. Tách các hạng tử:

\[ xy = -2x + 2y \]

2. Chia cả hai phía cho \( xy \) (giả sử \( xy \neq 0 \)) và sắp xếp lại:

\[ y = \frac{2y - 2x}{x} \]

Tuy nhiên, cách này có thể phức tạp hơn.

Thay vào đó, ta có thể viết lại phương trình ban đầu:

\[ xy + 2x - 2y = 0 \Rightarrow xy = 2y - 2x \]

3. Đưa về dạng:

\[ xy + 2x - 2y = 0 \]
\[ xy - 2y + 2x = 0. \]

4. Thay \( y \) ra ngoài:

\[ y(x - 2) = -2x. \]

5. Ta có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).

Khi \( x = 2 \), từ phương trình:

\[ 2y + 2(2) - 2y = 0 \Rightarrow 4 = 0. \]
Không có nghiệm nào.

- Trường hợp 2: \( x - 2 \neq 0 \Rightarrow y = \frac{-2x}{x - 2} \).

Để y là số nguyên, biểu thức \(-2x/(x-2)\) phải là số nguyên.

Điều này xảy ra khi \( x-2 \) chia hết cho -2.

Giả sử \( d = x - 2 \). Khi đó:

$$ x = d + 2 $$

Ta có:

$$ y = \frac{-2(d + 2)}{d} = -2 - \frac{4}{d}. $$

Để \( y \) là số nguyên, \( d \) phải là một trong các ước số của -4, bao gồm: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).

Giả sử các giá trị cho \( d \):

- Nếu \( d = 1\), \( x = 3\), \( y = -6\).
- Nếu \( d = -1\), \( x = 1\), \( y = 0\).
- Nếu \( d = 2\), \( x = 4\), \( y = -4\).
- Nếu \( d = -2\), \( x = 0\), \( y = 4\).
- Nếu \( d = 4\), \( x = 6\), \( y = -3\).
- Nếu \( d = -4\), \( x = -2\), \( y = 2\).

Vậy các nghiệm nguyên \( (x, y) \) là:
- \( (3, -6) \)
- \( (1, 0) \)
- \( (4, -4) \)
- \( (0, 4) \)
- \( (6, -3) \)
- \( (-2, 2) \)