Để giải bài toán này, chúng ta ký hiệu thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng là \( x \) giờ. Khi đó, vòi thứ hai sẽ chảy riêng trong \( x + 5 \) giờ.

Từ thông tin về công suất chảy nước của mỗi vòi, ta có thể biểu diễn lượng nước mà mỗi vòi chảy trong một giờ như sau:
- Vòi thứ nhất chảy được \( \frac{1}{x} \) bể trong 1 giờ.
- Vòi thứ hai chảy được \( \frac{1}{x + 5} \) bể trong 1 giờ.

Khi cả hai vòi cùng chảy, tổng lượng nước mà hai vòi chảy được trong 1 giờ là:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}
\]
Và chúng ta biết rằng sau 6 giờ, bể đầy, tức là:
\[
6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} \right) = 1
\]

Giải phương trình này, ta có:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}
\]

Nhân cả hai bên với \( 6x(x + 5) \) để loại bỏ mẫu số:
\[
6(x + 5) + 6x = x(x + 5)
\]
\[
6x + 30 + 6x = x^2 + 5x
\]

Sắp xếp lại để có phương trình bậc hai:
\[
x^2 + 5x - 12x - 30 = 0
\]
\[
x^2 - 7x - 30 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai bằng công thức:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \times 1 \times (-30)}}{2 \times 1}
\]
\[
= \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2}
\]

Tìm được hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3
\]

Vì thời gian không thể âm, nên thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng là \( x = 10 \) giờ.

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng sẽ là:
\[
x + 5 = 10 + 5 = 15 \text{ giờ.}
\]

Vậy thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng là 10 giờ, và vòi thứ hai chảy riêng là 15 giờ.