Để giải bài toán này, ta xét tam giác \( ABC \) với các đường cao \( BH \) và \( CK \). Ta sẽ chứng minh rằng các điểm \( B, K, H \) và \( C \) đều nằm trên một đường tròn, và xác định tâm của đường tròn đó. Sau đó, chúng ta sẽ so sánh đoạn \( KH \) và \( BC \).

### a) Chứng minh B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn.

1. **Xét các góc:**
- Gọi \( A, B, C \) lần lượt là các góc tại các đỉnh của tam giác \( ABC \).
- Đường cao \( BH \) từ \( B \) đến cạnh \( AC \) cắt \( AC \) tại \( H \).
- Đường cao \( CK \) từ \( C \) đến cạnh \( AB \) cắt \( AB \) tại \( K \).

2. **Xem xét tam giác vuông:**
- Tam giác \( BHC \) là tam giác vuông tại \( H \), do \( BH \) là đường cao.
- Tam giác \( CKH \) là tam giác vuông tại \( K \), do \( CK \) là đường cao.

3. **Chứng minh các góc liên quan:**
- Xét góc \( \angle BHC = 90^\circ \) và góc \( \angle CKH = 90^\circ \).
- Ta có:
\[
\angle BKC = 180^\circ - (\angle BHC + \angle CKH) = 180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ
\]
- Điều này có nghĩa là góc \( \angle BKC = \angle BHC + \angle CKH \). Như vậy, theo định lý về đường tròn, điểm \( B, K, H, C \) cùng nằm trên một đường tròn.

4. **Tâm đường tròn:**
- Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \( B, K, H, C \) chính là giao điểm của hai đường cao \( BH \) và \( CK \). Giao điểm này có thể được gọi là điểm \( O \).

### b) So sánh KH và BC.

1. **Chứng minh sự bằng nhau:**
- Từ cấu trúc của tam giác và các đường cao, ta có:
- \( KH \) và \( BC \) đều là những đoạn thẳng nối điểm \( H \) với đường thẳng \( AC \) và điểm \( K \) với đường thẳng \( AB \).

2. **Mối quan hệ giữa \( KH \) và \( BC \):**
- Thực tế trong một tam giác, đoạn thẳng nối hai điểm trên hai cạnh của tam giác (trong trường hợp này là \( K \) và \( H \)) thường sẽ ngắn hơn hoặc bằng với đoạn thẳng nối hai điểm đó khi những điểm đó nằm trên một dây cung của đường tròn (trong trường hợp này là đường tròn \( BCKH \)).
- Từ đó, ta có \( KH \leq BC \).

Tóm lại, trong trường hợp tam giác \( ABC \) với các đường cao \( BH \) và \( CK \):

- Các điểm \( B, K, H, C \) cùng nằm trên một đường tròn có tâm là giao điểm của \( BH \) và \( CK \).
- Đoạn \( KH \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng đoạn \( BC \): \( KH \leq BC \).

Hy vọng với những thông tin trên, bạn đã có cái nhìn rõ ràng về bài toán!