Gọi \( a + b = S \) và \( a - b = 5 \), \( ab = -6 \).

Ta có hệ phương trình:

1. \( a - b = 5 \)
2. \( ab = -6 \)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( a \) và \( b \) theo \( S \):

\[
a + b = S \\
a - b = 5
\]

Cộng hai phương trình lại:

\[
(a + b) + (a - b) = S + 5 \\
2a = S + 5 \\
a = \frac{S + 5}{2}
\]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:

\[
(a + b) - (a - b) = S - 5 \\
2b = S - 5 \\
b = \frac{S - 5}{2}
\]

Bây giờ, thay \( a \) và \( b \) vào phương trình \( ab = -6 \):

\[
\left( \frac{S + 5}{2} \right) \left( \frac{S - 5}{2} \right) = -6
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{(S + 5)(S - 5)}{4} = -6 \\
\frac{S^2 - 25}{4} = -6 \\
S^2 - 25 = -24 \\
S^2 = 1 \\
S = 1 \text{ hoặc } S = -1
\]

Vậy \( a + b = 1 \) hoặc \( a + b = -1 \).

Bây giờ, ta cần tính \( (a + b)^{2024} \):

1. Nếu \( S = 1 \):
\[
(a + b)^{2024} = 1^{2024} = 1
\]

2. Nếu \( S = -1 \):
\[
(a + b)^{2024} = (-1)^{2024} = 1
\]

Kết luận: Trong cả hai trường hợp, ta đều có

\[
(a + b)^{2024} = 1
\]