Để tìm tất cả các số nguyên tố \( p \) có dạng \( p = a^2 + b^2 + c^2 \) với \( a, b, c \) là các số nguyên dương và \( a^4 + b^4 + c^4 \) chia hết cho \( p \), ta sẽ phân tích bài toán này.

### 1. Tính chất của số nguyên tố có dạng tổng ba số bình phương
Theo định lý của Fermat về các số nguyên tố, một số nguyên tố \( p \) sẽ có dạng tổng của ba số bình phương (tức là \( p = a^2 + b^2 + c^2 \)) nếu và chỉ nếu \( p = 2 \) hoặc \( p \equiv 1, 2 \mod 4 \).

### 2. Điều kiện chia hết
Ta cần xem xét điều kiện \( a^4 + b^4 + c^4 \equiv 0 \mod p \).

Sử dụng tính chất của modulo và định lý Fermat, theo định lý này, với một số nguyên tố \( p \) và một số nguyên \( x \), có \( x^p \equiv x \mod p \). Từ đó, ta có thể đánh giá các bình phương và bậc bốn của \( a, b, c \).

### 3. Phân tích chung
Từ \( a^4 + b^4 + c^4 \equiv 0 \mod p \), ta có:

- Nếu \( p = 2 \), thì bất kỳ số chẵn \( a, b, c \) sẽ dẫn đến \( a^4 + b^4 + c^4 \) cũng chẵn, do đó sẽ không chia hết cho 2 nếu \( a, b, c \) là các số nguyên dương (vì số bình phương chẵn luôn dương).

- Nếu \( p > 2 \) và \( p \equiv 1, 2 \mod 4 \), ta cần xét các giá trị cụ thể của \( a, b, c \) để kiểm tra điều kiện chia hết.

### 4. Ví dụ cụ thể
- Với \( a = 1, b = 1, c = 1 \):
\[ p = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3 \]
Đánh giá:
\[ a^4 + b^4 + c^4 = 1^4 + 1^4 + 1^4 = 3 \]
Chia hết cho \( 3 \).

- Với \( a = 1, b = 1, c = 2 \):
\[ p = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6 \] (Không phải là số nguyên tố)

- Với \( a = 2, b = 2, c = 2 \):
\[ p = 2^2 + 2^2 + 2^2 = 12 \] (Không phải là số nguyên tố)

### 5. Kết luận
Qua việc phân tích và kiểm tra các trường hợp, hiện tại chỉ có \( p = 3 \) thoả mãn điều kiện đã nêu, với các giá trị \( a = 1, b = 1, c = 1 \).

### Các bước tiếp theo
Để xác minh, ta có thể lặp lại quy trình với các giá trị lớn hơn cho \( a, b, c \) và xem xét các \( p \equiv 1, 2 \mod 4 \) theo định lý số nguyên tố. Tuy nhiên, trong phạm vi đơn giản hóa và logic hiện tại, chỉ số nguyên tố \( p = 3 \) là điển hình.

### Danh sách các số nguyên tố thoả mãn:
- \( p = 3 \) được xét thấy phù hợp. Nếu cần mở rộng hơn đến một giá trị lớn hơn, ta cần thực hiện một kế hoạch tính toán hoặc kiểm tra số cách.