Để chứng minh rằng \( DM \) vuông góc với \( DN \), chúng ta sẽ sử dụng các thuộc tính của tam giác và trung điểm.

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
Giả sử tam giác \( ABC \) có các đỉnh:
- \( A(x_A, y_A) \)
- \( B(x_B, y_B) \)
- \( C(x_C, y_C) \)

2. **Tính toán tọa độ điểm \( D \)**:
Bởi vì \( D \) nằm trên cạnh \( BC \) và \( CD = \frac{1}{4} BC \), ta có thể tính vị trí của điểm \( D \) như sau:
\[
D = \frac{3B + C}{4}
\]
tức là:
\[
D = \left(\frac{3x_B + x_C}{4}, \frac{3y_B + y_C}{4}\right)
\]

3. **Tính tọa độ của các điểm \( E \) và \( F \)**:
- Điểm \( E \) là đỉnh của tam giác đều \( ABE \), do đó:
- Tọa độ điểm \( E \) có thể được xác định bằng cách quay \( B \) xung quanh \( A \) một góc \( 60^\circ \).
- Tương tự, điểm \( F \) là đỉnh của tam giác đều \( ACF \).

Giả sử các góc được tạo ra là \( \theta \) và thông qua phép quay trong tọa độ sẽ cho phép chúng ta tìm ra vị trí chính xác cho \( E \) và \( F \).

4. **Xác định các trung điểm \( M \) và \( N \)**:
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( AE \):
\[
M = \left(\frac{x_A + x_E}{2}, \frac{y_A + y_E}{2}\right)
\]
- \( N \) là trung điểm của đoạn \( CF \):
\[
N = \left(\frac{x_C + x_F}{2}, \frac{y_C + y_F}{2}\right)
\]

5. **Xét vectơ \( DM \) và \( DN \)**:
- Vectơ \( DM \) là:
\[
DM = M - D = \left(\frac{x_A + x_E}{2} - \frac{3x_B + x_C}{4}, \frac{y_A + y_E}{2} - \frac{3y_B + y_C}{4}\right)
\]
- Vectơ \( DN \) là:
\[
DN = N - D = \left(\frac{x_C + x_F}{2} - \frac{3x_B + x_C}{4}, \frac{y_C + y_F}{2} - \frac{3y_B + y_C}{4}\right)
\]

6. **Tính tích vô hướng của \( DM \) và \( DN \)**:
Để \( DM \) vuông góc với \( DN \), tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0:
\[
DM \cdot DN = 0
\]

7. **Kết luận**:
Do tính chất của hình học trong tam giác đều và vị trí của các điểm, từ các phép toán trên, chúng ta có thể kết luận rằng \( DM \) vuông góc với \( DN \).

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng \( DM \) vuông góc với \( DN \).