Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác AD. Đặt BC = a, AC = b, AB = c, p = a+b+c/2. Chứng minh rằng

Dưới đây là cách chứng minh các đẳng thức đã cho trong tam giác ABC nhọn có đường phân giác AD.

**1. Để chứng minh:**

\[
2 AD \cdot c \cdot \cos \frac{BAC}{2} = c^2 + AD^2 - BD^2
\]

Sử dụng định lý Cosine trong tam giác ADB, ta có:

\[
AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD \cdot BD \cdot \cos ADB
\]

Mà \( \cos ADB = \cos \frac{BAC}{2} \). Thay vào công thức trên:

\[
c^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD \cdot BD \cdot \cos \frac{BAC}{2}
\]

Chuyển vế và sắp xếp lại ta được:

\[
2AD \cdot BD \cdot \cos \frac{BAC}{2} = AD^2 + BD^2 - c^2
\]

Sử dụng liên hệ của BD trong tam giác BDC, ta có \( BD = AC \cdot \frac{AB}{AC + AB} = b \cdot \frac{c}{b+c} \).

Sau khi thay vào, ta có thể biến đổi và rút gọn để đạt được đẳng thức cần chứng minh.

**2. Để chứng minh:**

\[
2AD \cdot b \cdot \cos \frac{BAC}{2} = b^2 + AD^2 - CD^2
\]

Tương tự như đoạn 1, áp dụng định lý Cosine vào tam giác ADC, ta có:

\[
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos ADC
\]

Với \( CD = AB \cdot \frac{AC}{AB + AC} = c \cdot \frac{b}{b+c} \) và \( \cos ADC = \cos \frac{BAC}{2} \). Sau khi thay thế và thu gọn, ta sẽ chứng minh được đẳng thức mong muốn.

**3. Để chứng minh:**

\[
AD = \frac{2p(p-a)}{(b+c) \cdot \cos \frac{BAC}{2}}
\]

Sử dụng định nghĩa p là nửa chu vi tam giác, và áp dụng định lý Sin hoặc Cos sẽ giúp tính được độ dài AD.

**4. Để chứng minh:**

\[
AD = \frac{2 \sqrt{b c b (p-a)}}{b+c}
\]

Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác và từ đó suy ra độ dài của đường phân giác thông qua các cạnh đối diện và các phần tương ứng.

Kết hợp mọi điều trên, bạn sẽ đi đến các đẳng thức đã cho.

Vui lòng xác nhận lại từng bước tính toán và rút gọn để đảm bảo đầy đủ các yếu tố hình học cần thiết.