Dựa trên các thông tin đã cho trong hình vẽ và các điều kiện hình học:

1. **Tham số đã cho:**
- \( Ax \parallel Dy \)
- \( \angle BCD = 85^\circ \)
- \( AE \perp Ax \)
- \( CD \perp Dy \)

2. **Chứng minh:**
- Từ \( AE \perp Ax \) và \( CD \perp Dy \), ta có thể rút ra các tính chất về các góc:
- Vì \( Ax \parallel Dy \), nên góc đồng vị sẽ có giá trị bằng nhau.
- Từ đó, có thể suy ra rằng \( \angle DCE = 85^\circ \).

3. **Khảo sát:**
- Khi nhìn vào các tam giác như \( CDE \) và \( ABC \), có thể áp dụng định lý đồng dạng.

4. **Phải làm gì tiếp theo?**
- Nếu \( AB \) cắt \( CD \) tại \( C \), xác định các điểm \( B \) và \( D \) dựa trên các kết quả đã tìm ra. Thêm vào đó, đặt ra các mệnh đề về \( M \) và \( N \).

Bạn có thể tiếp tục giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng các định lý hình học khác để tìm giá trị cụ thể cho \( MN \) hoặc các góc khác, nếu cần thiết.