Để chứng minh bài toán, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh tam giác \( AED \) là tam giác cân:

1. **Xác định các tia và cạnh:**
- Ta có điểm \( E \) trên \( AC \) và đường thẳng \( EF \) song song với \( BC \). Do đó, \( EF || BC \).
- Ta có đường thẳng \( DF \) song song với \( AB \), tức là \( DF || AB \).

2. **Sử dụng tính chất của các đường song song:**
- Từ tính chất song song, ta có:
\[
\angle AEF = \angle ABC \quad \text{(góc so le trong)}
\]
\[
\angle EAD = \angle ADF \quad \text{(góc so le trong)}
\]

3. **Đối chiếu những góc này:**
- Bên cạnh đó, vì \( AE = BF \), ta có hai tam giác \( AEF \) và \( BFD \) đồng dạng. Do đó, \( \angle AEF = \angle BFD \).

4. **Đi đến kết luận:**
- Từ các góc bằng nhau trong các tam giác là \( \angle AEF \) và \( \angle ADF \), cũng như điều kiện \( AE = BF \), ta có \( AE = ED \) (vì hai góc \( AEF \) và \( ADF \) bằng nhau), suy ra tam giác \( AED \) là tam giác cân tại \( A \).

### b) Chứng minh \( AD \) là phân giác của góc \( A \):

1. **Xác định góc \( A \):**
- Ta có \( AD \) cắt \( EF \) tại điểm \( D \) và làm thành một góc với \( AB \)—với \( AE = BF \), suy ra \( AD \) sẽ chia đôi góc \( A \).

2. **Sử dụng tính chất phân giác:**
- Chúng ta đã biết \( AE = BF \) và \( \angle AEF = \angle ADF \), cho thấy rằng \( AD \) chia góc \( A \) thành hai góc bằng nhau:

\[
\angle DAE = \angle BAD
\]

3. **Đi đến kết luận:**
- Vì vậy, \( AD \) chính là phân giác của góc \( A \).

### Kết luận:

Ta đã chứng minh được rằng:
- Tam giác \( AED \) là tam giác cân.
- Đường thẳng \( AD \) là phân giác của góc \( A \).