Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta sẽ phân tích từng phần như sau:

**4A. Chứng minh rằng:**

a) Chứng minh \( \frac{AD}{DC} = \frac{AE}{DE} \)

- Ta có tam giác \( ADE \) vuông tại \( E \).
- Sử dụng định lý Pittagoras, ta có:
\[
AD^2 + DE^2 = AE^2
\]
- Ta cũng có tam giác vuông tại \( E \), từ đó suy ra tỷ lệ giữa các cạnh.

b) Chứng minh \( \angle AND = \angle DPC \)

- Ta sử dụng tính chất của các góc ở điểm chung và các tam giác.

**4B. Trong hình thang vuông \( ABCD \) ( \( \angle D = 90^\circ \) ) có hai đường chéo vuông góc với nhau tại \( O \) và \( AB = 4 \) cm, \( CD = 9 \) cm.**

a) Chứng minh \( \angle AOB = \angle DAB \)

- Ta cần sử dụng định nghĩa của các góc và các tính chất của tam giác.

b) Tính độ dài \( AD \)

- Sử dụng định lý Pytago với các cạnh đã cho trong hình thang vuông.

c) Chứng minh \( OL = OD = OB = OC \)

- Sử dụng các tính chất của hình chóp và đường chéo trong hình thang.

d) Tính tỷ số \( S_{ABCD} \)

- Tính diện tích của hình thang và sử dụng công thức để tìm tỷ số giữa \( S_{max} \) và \( S_{CD} \).

Tất cả các phần này đều cần sự chính xác trong việc tính toán và áp dụng định lý hình học cũng như các định lý liên quan.