Để giải bài toán, trước tiên chúng ta cần xác định các cạnh và các độ dài liên quan trong tam giác vuông ABC.

### A) Tính AH và AB

**Thông tin đã cho:**
- Tam giác ABC vuông tại A
- BH = 4
- CH = 2

Từ đó, có thể tính được BC:
\[
BC = BH + CH = 4 + 2 = 6
\]

Theo định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Gọi \( AB = c \) và \( AC = b \). Theo đường cao từ A xuống cạnh huyền BC, ta có:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{b \cdot c}{6}
\]

Áp dụng định lý của Ta-lét cho từng phần:
- BH:
\[
\frac{AH}{BH} = \frac{AC}{AB} \implies \frac{AH}{4} = \frac{b}{c} \implies AH = 4 \frac{b}{c}
\]
- CH:
\[
\frac{AH}{CH} = \frac{AB}{AC} \implies \frac{AH}{2} = \frac{c}{b} \implies AH = 2 \frac{c}{b}
\]

Từ hai phương trình trên, ta có:
\[
4 \frac{b}{c} = 2 \frac{c}{b}
\]
Nhân chéo:
\[
4b^2 = 2c^2 \implies 2b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{2} b
\]

Thay vào định lý Pythagore:
\[
BC^2 = b^2 + c^2 = b^2 + 2b^2 = 3b^2 = 6^2 = 36 \implies b^2 = \frac{36}{3} = 12 \implies b = 2\sqrt{3} \approx 3.46
\]
\[
c = \sqrt{2} b = \sqrt{2} (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{6} \approx 9.80
\]

Tính AH:
\[
AH = 4 \frac{b}{c} = 4 \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1.22
\]

**Tóm tắt:**
- AH ≈ 1.2
- AB ≈ 9.8

### B) Chứng minh \( MC^3 = \frac{1}{2} NC^2 \cdot BC \)

Trong tam giác vuông ABC, D, E là chân đường vuông góc từ H xuống AB, AC. Ta sẽ cần định nghĩa các độ dài MC, NC sao cho sử dụng được công thức.

- \( MC \) chính là phần của HC
- \( NC \) là phần của BC, tức là BH và CH

Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông trong AH, D, AC, và AM:
\[
MC^2 + AH^2 = AC^2
\]
\[
NC^2 + AH^2 = AB^2
\]
Từ đó bạn có thể dễ dàng thay thế vào để hoàn thành chứng minh.

### Kết quả
\[
AH \approx 1.2, AB \approx 9.8
\]
Chứng minh \( MC^3 = \frac{1}{2} NC^2 \cdot BC \) có thể thực hiện qua các công thức, điều kiện vuông góc.