Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu.

**1) Chứng minh ΔABC ∼ ΔHBA và AB² = BH * BC:**

- Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB = 9 cm và AC = 12 cm. Theo định nghĩa tỷ lệ của các cạnh trong hai tam giác đồng dạng:

\[
\text{Tỉ số} = \frac{AB}{AH} = \frac{AH}{AC}
\]

- Như vậy, sẽ có ΔABC ∼ ΔHBA.

- Với tỉ lệ tương ứng, ta có:

\[
\frac{AB}{AH} = \frac{BH}{AB}
\]

- Từ đó, vì ΔABC ∼ ΔHBA, áp dụng tỉ số theo định lý Pythagore:

\[
AB^2 = AH \cdot (BH + AH) = BH \cdot BC
\]

**2) Kẻ đường phân giác CD của tam giác ABC (D ∈ AB). Tính BC, AD:**

- Sử dụng định lý phân giác trong tam giác, ta có:

\[
\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}
\]

- Để tính BC, trước tiên tính độ dài BH theo định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

- Sau đó, ta tính AD:

\[
\frac{AC}{BC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}
\]

Sử dụng tỉ lệ này cho AD và DB (Đường phân giác chia đoạn AB thành 2 phần theo tỉ lệ 4:5):

\[
AD + DB = AB \Rightarrow AD + 5x = 9 \text{ và } AD = 4x \Rightarrow x = 1 \Rightarrow AD = 4
\]

**3) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CD tại E và cắt đường AH tại F. Ở trên đoạn thẳng CD lấy điểm G sao cho BG = AB. Chứng minh: BG ⊥ AH:**

- Ta có tam giác BGE vuông tại G và độ dài BG = AB = 9 cm.

- Với G nằm trên CD, đường BG vuông góc với AH (do tính chất vuông góc của đường thẳng kẻ từ một điểm ra đường thẳng).

Như vậy, BG ⊥ AH chứng minh hoàn tất yêu cầu bài toán.