Trong tam giác vuông tại A (tam giác ABC), chúng ta có:

- \( sin B = \frac{AH}{AB} \)
- \( sin C = \frac{AH}{AC} \)

1. **Trường hợp a: AB = 13 cm, BH = 0.5 m = 50 cm**

- Để tính AH, ta sử dụng định lý Pythagore:
\[
AC^2 = AB^2 + BH^2
\]
- Với \( BH = 50 \) cm:
\[
AC^2 = 13^2 + 50^2 = 169 + 2500 = 2669 \implies AC = \sqrt{2669} \approx 51.7 \, \text{cm}
\]
- Bây giờ, tính AH:
\[
AH = \frac{AB \times BH}{AC} = \frac{13 \times 50}{51.7} \approx 12.6 \, \text{cm}
\]
- Tính \( sin B \) và \( sin C \):
\[
sin B = \frac{AH}{AB} = \frac{12.6}{13} \approx 0.9692
\]
\[
sin C = \frac{AH}{AC} = \frac{12.6}{51.7} \approx 0.243
\]

2. **Trường hợp b: BH = 2 cm, CH = 8 cm**

- Ta cũng dùng định lý Pythagore để tìm AC:
\[
AC = BH + CH = 2 + 8 = 10 \text{ cm}
\]
- Tính AH:
\[
AH = \frac{AB \times BH}{AC} = \frac{10 \times 2}{10} = 2 \text{ cm}
\]
- Tính \( sin B \) và \( sin C \):
\[
sin B = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{10} = 0.2
\]
\[
sin C = \frac{AH}{AC} = \frac{2}{10} = 0.2
\]

**Kết quả:**
- Trường hợp a: \( sin B \approx 0.9692 \), \( sin C \approx 0.2430 \)
- Trường hợp b: \( sin B = 0.2 \), \( sin C = 0.2 \)