Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức G=2x^2+y^2+2xy-2x+2y+6

Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \( G = 2x^2 + y^2 + 2xy - 2x + 2y + 6 \), chúng ta có thể thực hiện như sau:

### Bước 1: Cách viết lại biểu thức

Chúng ta có:

\[
G = 2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 6
\]

Ta có thể nhóm lại các hạng tử theo \( x \) và \( y \):

\[
G = 2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 6 = 2(x^2 + xy) + (y^2 - 2x + 2y) + 6
\]

### Bước 2: Tìm cực trị

Chúng ta sẽ tính đạo hàm riêng của G theo \( x \) và \( y \), sau đó giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

1. Tính đạo hàm theo \( x \):

\[
\frac{\partial G}{\partial x} = 4x + 2y - 2
\]

2. Tính đạo hàm theo \( y \):

\[
\frac{\partial G}{\partial y} = 2y + 2x + 2
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

\[
4x + 2y - 2 = 0
\]
\[
2y + 2x + 2 = 0
\]

Từ phương trình thứ hai, ta có \( y = -x - 1 \).

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
4x + 2(-x - 1) - 2 = 0 \implies 4x - 2x - 2 - 2 = 0 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2
\]

Thay \( x = 2 \) vào \( y = -x - 1 \):

\[
y = -2 - 1 = -3
\]

### Bước 4: Tính giá trị của G tại điểm cực trị

Thay \( x = 2 \) và \( y = -3 \) vào G:

\[
G(2, -3) = 2(2^2) + (-3)^2 + 2(2)(-3) - 2(2) + 2(-3) + 6
\]

Tính từng hạng tử:

\[
= 2(4) + 9 + 2(-6) - 4 - 6 + 6 = 8 + 9 - 12 - 4 - 6 + 6 = 1
\]

### Bước 5: Phân tích tính lồi của G

Biểu thức G là bậc hai theo \( x \) và \( y \), do đó, để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, chúng ta cần xem xét tính lồi hay lõm của nó. Hệ số của \( x^2 \) và \( y^2 \) đều dương (2 và 1), nghĩa là mặt phẳng của biểu thức này là lồi, dẫn đến tìm được giá trị cực tiểu tại điểm cực trị đã tính.

### Kết luận

- Giá trị nhỏ nhất của \( G \) là \( 1 \) tại điểm \( (2, -3) \).
- Giá trị lớn nhất không có giới hạn, vì G sẽ tiến tới vô cùng khi \( x \) và \( y \) đi ra khỏi miền giới hạn.

Vậy ta có:

- Giá trị nhỏ nhất: \( 1 \)
- Giá trị lớn nhất: không có giới hạn (vô cùng).