Để giải phương trình \(\sqrt{(x-1)^2 + 4x} = 3\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Bình phương hai vế** để loại bỏ dấu căn:
\[
(x-1)^2 + 4x = 9
\]

2. **Mở rộng biểu thức** bên trái:
\[
x^2 - 2x + 1 + 4x = 9
\]
\[
x^2 + 2x + 1 = 9
\]

3. **Chuyển hết về một phía**:
\[
x^2 + 2x + 1 - 9 = 0
\]
\[
x^2 + 2x - 8 = 0
\]

4. **Giải phương trình bậc hai** bằng công thức:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = -8\):
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm 6}{2}
\]

5. **Tính hai nghiệm**:
- Nghiệm thứ nhất:
\[
x_1 = \frac{4}{2} = 2
\]
- Nghiệm thứ hai:
\[
x_2 = \frac{-8}{2} = -4
\]

6. **Kiểm tra từng nghiệm** trong phương trình gốc:
- Với \(x = 2\):
\[
\sqrt{(2-1)^2 + 4 \cdot 2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]
- Với \(x = -4\):
\[
\sqrt{(-4-1)^2 + 4 \cdot (-4)} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]

Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là: \(x = 2\) và \(x = -4\).