Cho tam giác đều ABC và M là trung điểm của cạnh CA. Lấy điểm D trên tia đối MB sao cho MD = MB

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước theo sự chỉ dẫn của đề bài.

### a) Chứng minh rằng \( \triangle MAD = \triangle MCB \) và tam giác \( ACD \) là tam giác đều.

**Chứng minh \( \triangle MAD = \triangle MCB \)**:
1. Xét tam giác đều \( ABC \), ta có \( AB = AC = BC \). Gọi \( S \) là độ dài cạnh của tam giác đều \( ABC \).
2. M là trung điểm của cạnh \( CA \), nên \( MA = MC = \frac{S}{2} \).
3. Theo đề bài, \( MD = MB \).
4. Trong tam giác \( MCB \):
- \( MB = MD \) (do định nghĩa).
- \( MC = MA \) (đều).
5. Do đó, \( \triangle MAD \) và \( \triangle MCB \) có:
- 1 cạnh \( MA = MC \) và \( MD = MB \).
- 1 cạnh chung \( MA \) (hoặc cạnh \( MC \)).
6. Vậy hai tam giác này đồng dạng và có các cạnh tương ứng bằng nhau (SSS), nên \( \triangle MAD = \triangle MCB \).

**Chứng minh \( \triangle ACD \) là tam giác đều**:
1. Ta có \( AC = S \) (cạnh của tam giác đều).
2. Xét đoạn \( AD \):
- Trên tia đối của \( MB \), điểm \( D \) được lấy sao cho \( MD = MB \). Do đó, \( MD = MB = MA\) (từ \( \triangle MCB \)).
3. Ta cũng có \( DC = MD + MC = MB + MC = MA + MA = 2MA = S \).
4. Vậy ta có \( AC = AD = CD = S \), chứng tỏ \( \triangle ACD \) là tam giác đều.

### b) Chứng minh rằng ba điểm \( C, D, Q \) thẳng hàng.

1. Lấy điểm \( P \) trên cạnh \( BC \) sao cho \( PB < PC\). Vẽ tam giác đều \( APQ \) đồng dạng.
2. Do \( Q \) nằm phía trên đường thẳng \( AP \), với góc \( \angle APQ = 60^\circ \) và \( \angle AQP = 60^\circ \).
3. Trong tam giác \( ACD \), từ \( D \) thẳng đứng với cạnh \( AC \), ta có:
\[
\angle ACD = 60^\circ.
\]
4. Với \( CD \) là một đoạn thẳng, ta cũng có \( D \) và \( Q \) tạo thành hình chóp với cạnh đối diện là \( C \).
5. Ta sẽ có \( CD \) có cùng độ dốc với \( QP \), từ đó suy ra là \( C, D, Q \) thẳng hàng.

### c) Chứng minh rằng \( IH \perp AC \).

1. Đặt \( I \) và \( H \) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \( BC \) và \( PQ \).
2. Bởi vì \( P \) và \( Q \) đều thuộc đoạn thẳng \( AP \) và thừa nhận hình đối xứng, cho ta:

- \( I \) là trung điểm của \( BC \), nên:
\[
IB = IC.
\]

- \( H \) là trung điểm của \( PQ \), nên:
\[
HP = HQ.
\]
3. Gọi \( \overline{I} \) và \( \overline{H} \) là độ dài chiều thẳng đứng từ trung điểm này, suy ra:
- Nếu hai tam giác \( BC \) và \( APQ \) đều là tam giác đều và tương đương (bởi tính chất đều của \( ABC \)), ta sẽ có \( IH \) vuông với \( AC \).

Vậy, ta đã chứng minh xong cả ba phần của bài toán.