Cho đa thức f(x) là đa thức bậc 2, có các hệ số hữu tỉ thỏa mãn f(1) = -2 và f 1+√2 = √2. Tìm nghiệm của đa thức f(x)

Để giải bài toán, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### Phần a:
Cho đa thức \( f(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a, b, c \) là các hệ số hữu tỉ.

**Bước 1:** Sử dụng điều kiện \( f(1) = -2 \):
\[
f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = -2.
\]

**Bước 2:** Sử dụng điều kiện \( f(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \):
\[
f(1 + \sqrt{2}) = a(1 + \sqrt{2})^2 + b(1 + \sqrt{2}) + c.
\]
Tính \( (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} \), do đó:
\[
f(1 + \sqrt{2}) = a(3 + 2\sqrt{2}) + b(1 + \sqrt{2}) + c.
\]
\[
= 3a + b + c + (2a + b)\sqrt{2}.
\]
Theo điều kiện \( f(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \), ta có:
\[
3a + b + c = 0,
\]
\[
2a + b = 1.
\]

**Bước 3:** Giải hệ phương trình:
Từ phương trình \( 3a + b + c = 0 \), chúng ta có:
\[
c = -3a - b.
\]
Thay vào phương trình \( a + b + c = -2 \):
\[
a + b - 3a - b = -2 \implies -2a = -2 \implies a = 1.
\]
Thay \( a = 1 \) vào phương trình \( 2a + b = 1 \):
\[
2(1) + b = 1 \implies b = -1.
\]
Cuối cùng, thay vào \( c = -3a - b \):
\[
c = -3(1) - (-1) = -3 + 1 = -2.
\]
Vậy ta có:
\[
f(x) = x^2 - x - 2.
\]

**Bước 4:** Tìm nghiệm của đa thức \( f(x) \):
Giải phương trình:
\[
x^2 - x - 2 = 0.
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
\]
Do đó, nghiệm là:
\[
x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1.
\]

Vậy nghiệm của đa thức \( f(x) \) là \( x = 2 \) và \( x = -1 \).

### Phần b:
Cho đa thức \( P(x) \) có các hệ số nguyên. Biết rằng tồn tại ba số nguyên phân biệt \( a, b, c \) sao cho \( P(a) = P(b) = P(c) = 2024 \). Chúng ta muốn chứng minh rằng \( P(x) - 2025 \) không có nghiệm nguyên.

Giả sử \( P(x) - 2025 \) có một nghiệm nguyên \( r \), tức là \( P(r) = 2025 \).

Từ đây, ta có:
\[
P(a) - 2025 = P(a) - 2024 = -1,
\]
\[
P(b) - 2025 = P(b) - 2024 = -1,
\]
\[
P(c) - 2025 = P(c) - 2024 = -1.
\]
Như vậy, \( r \) là nghiệm của phương trình \( P(x) - 2025 = 0 \), điều này có thể hiểu là giá trị của \( P(x) - 2025 \) tại ba điểm \( a, b, c \) có giá trị bằng \(-1\). Tức là:
\[
(P(a) - 2025)(P(b) - 2025)(P(c) - 2025) = (-1)(-1)(-1) = -1.
\]
Như vậy, theo định lý về giá trị của đa thức, \( P(x) - 2025 \) sẽ có tối đa 3 nghiệm nguyên khác nhau.

Nhưng \( P(r) - 2025 = 0 \) hàm nghĩa rằng tại một điểm nào đó trước đó, giá trị của đa thức cũng phải bằng 0, điều này dẫn đến mâu thuẫn với việc ba điểm đã cho đều cho giá trị \(-1\).

Vì vậy, \( P(x) - 2025 \) không có nghiệm nguyên.

### Kết luận:
a) Nghiệm của đa thức \( f(x) \) là \( x = 2 \) và \( x = -1 \).
b) Đa thức \( P(x) - 2025 \) không có nghiệm nguyên.