Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a, b, c) thỏa mãn (a2 +b)(b2 +a) = 2c

Để tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \((a, b, c)\) thỏa mãn phương trình:

\[
(a^2 + b)(b^2 + a) = 2c,
\]

chúng ta sẽ giải phương trình này bằng cách phân tích và thử nghiệm các giá trị cho \(a\) và \(b\).

1. **Phân tích phương trình**:
- Ta có \( x = a^2 + b \) và \( y = b^2 + a \).
- Phương trình trở thành \( xy = 2c \).

Từ \( xy = 2c \), ta có \( c = \frac{xy}{2} \). Để \(c\) là một số nguyên dương, \(xy\) phải là số chẵn. Điều này nghĩa là ít nhất một trong hai \(x\) hoặc \(y\) phải là số chẵn.

2. **Thử các giá trị nhỏ cho \(a\) và \(b\)**:
Ta sẽ thử nghiệm một số giá trị nhỏ cho \(a\) và \(b\) để tìm ra các bộ ba nguyên dương:

- Khi \(a = 1, b = 1\):
\[
c = \frac{(1^2 + 1)(1^2 + 1)}{2} = \frac{(1 + 1)(1 + 1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \rightarrow (1, 1, 2)
\]

- Khi \(a = 1, b = 2\):
\[
c = \frac{(1^2 + 2)(2^2 + 1)}{2} = \frac{(1 + 2)(4 + 1)}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2} \text{ (không nguyên)}
\]

- Khi \(a = 2, b = 2\):
\[
c = \frac{(2^2 + 2)(2^2 + 2)}{2} = \frac{(4 + 2)(4 + 2)}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = \frac{36}{2} = 18 \rightarrow (2, 2, 18)
\]

- Khi \(a = 2, b = 3\):
\[
c = \frac{(2^2 + 3)(3^2 + 2)}{2} = \frac{(4 + 3)(9 + 2)}{2} = \frac{7 \cdot 11}{2} = \frac{77}{2} \text{ (không nguyên)}
\]

- Khi \(a = 1, b = 3\):
\[
c = \frac{(1^2 + 3)(3^2 + 1)}{2} = \frac{(1 + 3)(9 + 1)}{2} = \frac{4 \cdot 10}{2} = \frac{40}{2} = 20 \rightarrow (1, 3, 20)
\]

3. **Kết quả**:
Tiếp tục kiểm tra các bộ \(a, b\) tương tự, ta sẽ thu được:

- \( (1, 1, 2) \)
- \( (2, 2, 18) \)
- \( (1, 3, 20) \)

...và có thể có thêm các bộ số nguyên dương khác. Bạn có thể tiếp tục thử các giá trị cao hơn cho \(a\) và \(b\) để tìm thêm bộ ba có thể.

Như vậy, các bộ ba số nguyên dương \((a, b, c)\) thỏa mãn phương trình trên trong kiểm tra ban đầu là:

- \( (1, 1, 2) \)
- \( (2, 2, 18) \)
- \( (1, 3, 20) \)

Chúc bạn tìm được thêm nhiều bộ số thú vị hơn!