Để xác định các điểm có tọa độ nguyên trên trục Ox sao cho khi dựng đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm đó, đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng \( (d_1), (d_2), (d_3) \) tại các điểm có tọa độ nguyên, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Lập phương trình của các đường thẳng

1. **Đường thẳng \( (d_1): x - 2y = 3 \)** có thể viết lại thành:
\[
y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}
\]

2. **Đường thẳng \( (d_2): x - 3y = 2 \)** có thể viết lại thành:
\[
y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}
\]

3. **Đường thẳng \( (d_3): x - 5y = -7 \)** có thể viết lại thành:
\[
y = \frac{1}{5}x + \frac{7}{5}
\]

### Bước 2: Tìm tọa độ tại điểm cắt

Giả sử điểm trên trục Ox là \( (a, 0) \). Khi dựng đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm này, ta có phương trình thẳng đứng \( x = a \). Các tọa độ của điểm cắt với từng đường thẳng là:

- Với đường thẳng \( (d_1) \):
\[
0 = \frac{1}{2}a - \frac{3}{2} \implies \frac{1}{2}a = \frac{3}{2} \implies a = 3
\]

- Với đường thẳng \( (d_2) \):
\[
0 = \frac{1}{3}a - \frac{2}{3} \implies \frac{1}{3}a = \frac{2}{3} \implies a = 2
\]

- Với đường thẳng \( (d_3) \):
\[
0 = \frac{1}{5}a + \frac{7}{5} \implies \frac{1}{5}a = -\frac{7}{5} \implies a = -7
\]

### Bước 3: Kết hợp các điều kiện

Chúng ta đã tìm được các giá trị cho \( a \):
- Từ \( (d_1) \): \( a = 3 \)
- Từ \( (d_2) \): \( a = 2 \)
- Từ \( (d_3) \): \( a = -7 \)

### Bước 4: Kết luận

Chỉ có thể tìm thấy các điểm trên trục Ox là \( a = 2, 3, -7 \) mà các cắt đều cho kết quả có tọa độ nguyên.

Vậy **các điểm trên trục Ox có tọa độ nguyên** thỏa mãn điều kiện là:
\[
\{-7, 2, 3\}
\]