Để chứng minh rằng hai tam giác \( \triangle ABH \) và \( \triangle HDC \) bằng nhau, ta tiến hành như sau:

1. **Giả thiết**: Ta có tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), xác định điểm \( H \) trên đường thẳng \( BC \) sao cho \( AH \perp BC \). Từ giả thiết, ta suy ra là \( AB = AC \).

2. **Xét điểm \( D \)**: Theo đề bài, điểm \( D \) được xác định trên tia đối của tia \( AH \) sao cho \( DH = AH \). Điều này có nghĩa là:
\[
DH = AH.
\]

3. **Xét các cạnh của hai tam giác**:
- Về cạnh \( AB \) trong tam giác \( \triangle ABH \), ta có:
- \( AH \) là chiều cao của tam giác \( ABC \), vì \( AH \perp BC \).
- Về cạnh \( HC \) trong tam giác \( \triangle HDC \), ta có:
- Khi \( DH = AH \) và \( D \) thuộc tia đối của \( AH \), đoạn thẳng \( HC \) sẽ bằng đoạn thẳng \( AB \).

4. **So sánh góc**:
- Góc \( \angle ABH \) và góc \( \angle HDC \) có thể được so sánh bằng cách chỉ ra rằng chúng là các góc vuông:
\[
AH \perp BC \Rightarrow \angle ABH = 90^\circ.
\]
Đồng thời, vì \( DH = AH \) và \( D \) nằm trên tia đối nên \( \angle HDC = 90^\circ \) cũng được thiết lập.

5. **Sử dụng trường hợp tam giác vuông**:
Trong \( \triangle ABH \) và \( \triangle HDC \), ta có:
- \( AB = AC \) (do tam giác \( ABC \) cân tại \( A \)).
- \( AH = DH \) (theo giả thiết).
- \( \angle ABH = \angle HDC = 90^\circ \) (góc vuông).

6. **Áp dụng định lý tam giác vuông**:
Theo định lý tam giác vuông, hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu có hai góc vuông và một cạnh tương ứng. Do đó:
\[
\triangle ABH \cong \triangle HDC.
\]

Từ các lập luận trên, ta có \( \triangle ABH \cong \triangle HDC \), và ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.