Dưới đây là cách tìm số nguyên \( x \) cho các bài toán của bạn:

### 1. Tìm số nguyên \( x \):

**a)** \( (x^2 + 1) \cdot (x - 1) = 0 \)

Phương trình này có hai phần:

1. \( x^2 + 1 = 0 \): không có nghiệm thực (vì \( x^2 + 1 \) luôn dương với mọi số thực).
2. \( x - 1 = 0 \) dẫn đến \( x = 1 \).

Vậy nghiệm nguyên là \( x = 1 \).

**b)** \( 25 - (3 + x)^2 = 3 \cdot (-2) \)

Giải phương trình:

\[ 25 - (3 + x)^2 = -6 \]

Chuyển về một bên:

\[ 25 + 6 = (3 + x)^2 \]

\[ 31 = (3 + x)^2 \]

Lấy căn bậc hai:

\[ 3 + x = \sqrt{31} \quad \text{hoặc} \quad 3 + x = -\sqrt{31} \]

Nghiệm này không cho giá trị nguyên vì \( \sqrt{31} \) không phải là số nguyên. Do đó không có nghiệm nguyên.

**c)** \( (x + 1)^3 + 9 = -116 \)

Giải phương trình:

\[ (x + 1)^3 = -116 - 9 \]

\[ (x + 1)^3 = -125 \]

Lấy căn bậc ba:

\[ x + 1 = -5 \]

Vậy:

\[ x = -6 \]

Nghiệm nguyên là \( x = -6 \).

### Tìm số nguyên \( x \):

**a)** \( -13 \) chia hết \( (x + 1) \)

Điều này có nghĩa là \( x + 1 \) là một ước của \( -13 \). Các ước của \( -13 \) là \( \{-13, -1, 1, 13\} \):

1. \( x + 1 = -13 \) → \( x = -14 \)
2. \( x + 1 = -1 \) → \( x = -2 \)
3. \( x + 1 = 1 \) → \( x = 0 \)
4. \( x + 1 = 13 \) → \( x = 12 \)

Các nghiệm nguyên là \( x = -14, -2, 0, 12 \).

**b)** \( (x + 5) \) chia hết \( (x - 2) \)

Ta có thể sử dụng định lý phân thức. Điều này có nghĩa là \( x + 5 = k(x - 2) \) với \( k \) là số nguyên.

Giả sử \( k = 1 \):

\[ x + 5 = x - 2 \Rightarrow \text{sai} \]

Giả sử \( k = -1 \):

\[ x + 5 = -1(x - 2) \]

\[ x + 5 = -x + 2 \]

\[ 2x = -3 \Rightarrow x = -1.5 \quad \text{sai} \]

Thực hiện thêm với \( k = -2 \) (vì không tìm được giá trị dương) dễ dàng có thể thấy rằng kết quả không phải là số nguyên.

Để giải phương trình theo cách khác cũng không đạt được giá trị nguyên nào, vì chỉ cần \( x + 5 \) và \( x - 2 \) cùng các số vĩnh viễn khác.

Vì vậy không có nghiệm nguyên cho y.

**c)** \( (3x - 8) \) chia hết \( (x - 4) \)

Điều này có nghĩa là:

\[ 3x - 8 = k(x - 4) \]

Giả sử \( k = 3 \):

\[ 3x - 8 = 3(x - 4) \]

Lặp lại, rõ ràng không có nghiệm.

**d)** \( (x^2 - x - 1) \) chia hết \( (x - 1) \)

Với \( x - 1 \), bạn có thể thử nghiệm như sau:

\[ x^2 - x - 1 = (x - 1)(x - 2) + 0 \Rightarrow x \text{ là một giá trị hợp lệ cho nghiệm.} \]

### 4. Tìm giá trị nhỏ nhất:

**a)** \( A = -7 + (x + 1)^2 \)

Giá trị nhỏ nhất của \( (x + 1)^2 \) xảy ra khi \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).

Thay vào công thức:

\[ A_{min} = -7 + 0 = -7 \]

**b)** \( B = (x - 2)^2 - 17 \)

Giá trị nhỏ nhất của \( (x - 2)^2 \) xảy ra khi \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).

Thay vào công thức:

\[ B_{min} = 0 - 17 = -17 \]

### Tóm tắt

1. \( x = 1, -6 \)
2. Nghiệm nguyên của \( a, b, c, d \) như đã tìm.
4. Giá trị nhỏ nhất: \( A_{min} = -7, B_{min} = -17 \)