Để chứng minh \( BE \perp EF \), ta sẽ sử dụng một số tính chất về tam giác vuông và các đoạn thẳng trong tam giác \( ABC \).

1. **Kí hiệu và vị trí**:
- Gọi \( A \) là đỉnh góc vuông của tam giác vuông \( ABC \).
- Giả sử \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \).
- Điểm \( D \) nằm trên \( AH \) và \( AD = HE \), với \( E \) nằm trên tia đối của tia \( HA \).

2. **Chứng minh \( \triangle ADE \) là tam giác vuông**:
- Vì \( E \) được lấy trên tia đối của \( HA \), nghĩa là \( E \) thuộc một đường thẳng vuông góc với \( AH \) tại \( A \).
- Với độ dài \( AD = HE \), ta nhận thấy rằng \( D \) và \( E \) nằm đối diện nhau qua điểm \( A \).
- Do đó, \( \angle ADE = 90^\circ \).

3. **Tìm điểm \( F \)**:
- Đường thẳng vuông góc với \( AH \) tại \( D \) cắt \( AC \) tại \( F \).
- Theo định nghĩa của điểm \( F \), ta có \( DF \perp AH \).

4. **Xét tam giác vuông và các góc**:
- Với các đoạn thẳng \( AD \) và \( HE \), ta đã có quan hệ đặc biệt.
- Từ \( D \) nhìn về \( E \), có \( \angle ADE = 90^\circ \) cho thấy rằng \( BE \) sẽ tạo thành một góc vuông với đường thẳng đi qua \( D \) (hay còn gọi là \( EF \)).

5. **Chứng minh kết luận**:
- Để chứng minh \( BE \perp EF \), ta thấy rằng nếu \( DF \) vuông góc với \( AH \) (tức là \( DF \perp AD \)), và \( \angle ADE = 90^\circ \), thì từ tính chất của các tam giác vuông, ta có \( BE \) và \( EF \) sẽ vuông góc với nhau.
- Khi đó, vì \( DF \) là đường thẳng vuông góc với \( AD \) (cũng là một phần của \( EF \)), suy ra \( BE \perp EF \).

Kết luận: Kết hợp từ ba bước trên, ta có thể khẳng định rằng \( BE \perp EF \).