Để tính độ cao \( AH \) của mái nhà, chúng ta sẽ sử dụng định lý hình học liên quan đến tam giác.

1. **Gọi các thông số:**
- \( BC = 15 \) cm
- Góc \( ABC = 42^\circ \)
- Góc \( ACB = 30^\circ \)

2. **Tính góc \( CAB \):**
- Tổng các góc trong tam giác \( ABC \) là \( 180^\circ \).
- Do đó, góc \( CAB = 180^\circ - 42^\circ - 30^\circ = 108^\circ \).

3. **Sử dụng định lý sin:**
- Theo định lý sin, ta có:
\[
\frac{AH}{\sin(42^\circ)} = \frac{15}{\sin(30^\circ)}
\]

- Biết rằng \( \sin(30^\circ) = 0.5 \), ta thay vào:
\[
\frac{AH}{\sin(42^\circ)} = \frac{15}{0.5} = 30
\]

4. **Giải phương trình để tìm \( AH \):**
\[
AH = 30 \cdot \sin(42^\circ)
\]

5. **Tính giá trị cụ thể:**
- Tính giá trị \( \sin(42^\circ) \) (sử dụng máy tính hoặc tra bảng sin):
\[
\sin(42^\circ) \approx 0.6691
\]

- Thay vào công thức:
\[
AH \approx 30 \cdot 0.6691 \approx 20.073 cm
\]

Vậy độ cao \( AH \) của mái nhà là khoảng 20.07 cm.