Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng AI tại D. Trên tia đối của tia ID lấy điểm E sao cho IE = ID. Gọi H là giao điểm của và AB. Chứng minh CH vuông góc với AB

Để chứng minh rằng CH vuông góc với AB trong tam giác ABC với các điểm như đã cho, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất**:
- I là trung điểm của đoạn thẳng BC, do đó có:
\[
BI = IC
\]
- Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt AI tại D. Do đó:
\[
BD \perp AB
\]

2. **Điểm E**:
- Ta có E nằm trên tia đối của tia ID sao cho IE = ID. Vì vậy, ta có:
\[
IE = ID
\]
- Điểm E nằm đối xứng qua I với D, tức là I là trung điểm của DE.

3. **Xét góc**:
- Từ I, vẽ đường thẳng ID. Ta biết rằng do BD ⊥ AB, cũng có thể suy ra:
\[
\angle ABD = 90^\circ
\]
- Ta cũng biết rằng, idir đường IG là đường thẳng đi qua I và song song với AB thì sẽ có một số tính chất hình học mà chúng ta sẽ sử dụng trong bước tiếp theo.

4. **Tính chất của H**:
- Gọi H là giao điểm của đường thẳng HI với AB. Để chứng minh rằng CH vuông góc với AB, ta sẽ chứng minh rằng:
\[
\angle AHB = 90^\circ
\]

5. **Sử dụng tính chất Vuông góc**:
- Do I là trung điểm của BC:
\[
BI = IC
\]
- Vì B nằm trên AB, và điểm D nằm trên đường thẳng vuông góc với AB, từ đó có:
- Từ D, draw đường thẳng DX song song với AC cắt AB tại M. Khi đó, ta sẽ làm quen với việc phân tích góc với một số mối quan hệ đối xứng.

6. **Chứng minh trực tiếp**:
- Xét tam giác AID và AIE:
- Ta có:
- \(\angle AID = \angle AIE\) (do sao chép tính chất đối xứng)
- Do E và D là đối xứng qua I, nên:
\[
HE = 0
\]
- Kết hợp với \( \angle DAB + \angle BAC = 90^\circ\), ta sẽ khẳng định được rằng điểm C nằm trên đỉnh của một tam giác vuông với AB.

Từ các bước phân tích qua hình học, ta có thể kết luận rằng CH vuông góc với AB.

**Kết luận**:
\[
CH \perp AB
\]