Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AM =AN. Chứng minh rằng tứ giác BMNC là hình thang cân

Để chứng minh tứ giác \( BMNC \) là hình thang cân, ta sẽ dùng các tính chất của tam giác cân và hình học phẳng.

1. **Giả thiết**: Ta có tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nghĩa là \( AB = AC \). Gọi \( AM = AN \).

2. **Tính chất của các đoạn thẳng**: Vì \( AM = AN \), ta có \( M \) và \( N \) nằm trên các cạnh khác nhau \( AB \) và \( AC \) sao cho đoạn thẳng \( AM \) và đoạn thẳng \( AN \) bằng nhau.

3. **Ký hiệu độ dài**: Chúng ta ký hiệu \( BM = x \) và \( CN = x' \).

4. **Xét tam giác \( AMN \)**: Do \( AM = AN \), tam giác \( AMN \) là tam giác cân tại \( A \). Do đó, góc \( \angle AMN = \angle ANM \).

5. **Xét tam giác \( ABC \)**: Trong tam giác cân \( ABC \), hai góc tại đỉnh là \( \angle ABC = \angle ACB \).

6. **Các góc trong tứ giác**: Ta xét các góc của tứ giác \( BMNC \):
- \( \angle MBC \) và \( \angle MCB \) là các góc thuộc tam giác \( MBK \) và do đó có liên hệ với các góc trong tam giác \( ABC \).
- Với tính chất của góc đối diện \( \angle MBC + \angle NCB = 180^\circ \) và \( \angle MCB + \angle NBM = 180^\circ \) (cùng một đường thẳng).

7. **Từ các mối liên hệ này**:
- Như đã chỉ ra, \( \angle MBC = \angle NCB \) và \( \angle MCB = \angle NBM \).

8. **Kết luận**: Từ đó, ta có \( BM \parallel CN \) và \( BM = CN \); do đó, tứ giác \( BMNC \) là hình thang cân vì hai cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau.

Vậy tứ giác \( BMNC \) là hình thang cân. Chứng minh hoàn tất.