Giải phương trình sau

Để giải phương trình

\[
\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x-3} = 0
\]

bước đầu tiên là tìm mẫu số chung của các phân thức. Mẫu số chung là \((x-1)(x-2)(x-3)\).

Sau khi tìm được mẫu số chung, phương trình trở thành:

\[
\frac{(x-2)(x-3) + 2(x-1)(x-3) + 3(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = 0
\]

Phân thức bằng 0 khi tử số bằng 0. Do đó, ta cần giải phương trình:

\[
(x-2)(x-3) + 2(x-1)(x-3) + 3(x-1)(x-2) = 0
\]

Giờ ta tiến hành khai triển các biểu thức trong tử số:

1. \((x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6\)
2. \(2(x-1)(x-3) = 2(x^2 - 4x + 3) = 2x^2 - 8x + 6\)
3. \(3(x-1)(x-2) = 3(x^2 - 3x + 2) = 3x^2 - 9x + 6\)

Gộp các kết quả lại, ta có:

\[
x^2 - 5x + 6 + 2x^2 - 8x + 6 + 3x^2 - 9x + 6 = 0
\]

Gộp các số hạng giống nhau:

\[
(1 + 2 + 3)x^2 + (-5 - 8 - 9)x + (6 + 6 + 6) = 0
\]

\[
6x^2 - 22x + 18 = 0
\]

Tiếp theo, sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

với \(a = 6\), \(b = -22\), và \(c = 18\):

\[
b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 18 = 484 - 432 = 52
\]

Vậy nghiệm sẽ là:

\[
x = \frac{22 \pm \sqrt{52}}{12} = \frac{22 \pm 2\sqrt{13}}{12} = \frac{11 \pm \sqrt{13}}{6}
\]

Vì vậy, các nghiệm của phương trình là:

\[
x_1 = \frac{11 + \sqrt{13}}{6}, \quad x_2 = \frac{11 - \sqrt{13}}{6}
\]

Chú ý kiểm tra điều kiện không có nghiệm nào chia cho 0 tương ứng với \(x \neq 1\), \(x \neq 2\), và \(x \neq 3\). Dễ dàng thấy rằng cả hai nghiệm trên đều khác các giá trị này.