Để tìm giá trị nguyên của \( x \) để các biểu thức sau đây có giá trị nguyên, ta sẽ phân tích từng bài.

**Bài 1**: Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( \frac{x-1}{x-3} \) có giá trị nguyên.

Điều kiện cần là \( x-3 \neq 0 \) (tức \( x \neq 3 \)).

Ta có:
\[ \frac{x-1}{x-3} = 1 + \frac{2}{x-3} \]
Vì biểu thức tổng \( 1 + \frac{2}{x-3} \) là nguyên, thì \( \frac{2}{x-3} \) cũng phải nguyên. Điều này có nghĩa là \( x - 3 \) phải là ước của 2. Các ước của 2 là \( \pm 1, \pm 2 \):
- \( x-3 = 1 \) → \( x = 4 \)
- \( x-3 = -1 \) → \( x = 2 \)
- \( x-3 = 2 \) → \( x = 5 \)
- \( x-3 = -2 \) → \( x = 1 \)

Giá trị nguyên của \( x \): \( 1, 2, 4, 5 \).

---

**Bài 2**: Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( \frac{2x+1}{x^2-4} \) có giá trị nguyên.

Điều kiện cần là \( x^2 - 4 \neq 0 \) (tức \( x \neq \pm 2 \)).

Ta phân tích:
\[ \frac{2x+1}{(x-2)(x+2)} \]
Ta cần \( 2x + 1 \) phải chia hết cho \( x^2 - 4 \).

Để tìm \( x \), ta thử các giá trị nguyên khác ngoài \( -2, 2 \):
- Nếu \( x = 0 \): \( \frac{1}{-4} \) → không nguyên
- Nếu \( x = 1 \): \( \frac{3}{-3} = -1 \) → nguyên
- Nếu \( x = 3 \): \( \frac{7}{5} \) → không nguyên
- Nếu \( x = -1 \): \( \frac{-1}{-3} \) → không nguyên
- Nếu \( x = 4 \): \( \frac{9}{12} \) → không nguyên
- Nếu \( x = -3 \): \( \frac{-5}{-5} = 1 \) → nguyên

Giá trị nguyên của \( x \): \( -3, 1 \).

---

**Bài 3**: Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 2x + 3} \) có giá trị nguyên.

Điều kiện là \( x^2 + 2x + 3 \neq 0 \) (luôn dương vì discriminant âm).

Ta có:
\[ \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2 + 2} \]

Một biểu thức dạng này sẽ nguyên khi phần tử tử số điều kiện là nhiều dạng hơn tử số. Tính riêng cho một số giá trị \( x \):

- Nếu \( x = 0 \): \( \frac{-3}{3} = -1 \) → nguyên
- Nếu \( x = -1 \): \( \frac{1}{1} = 1 \) → nguyên
- Nếu \( x = -2 \): \( \frac{-1}{1} = -1 \) → nguyên
- Nếu \( x = 1 \): \( \frac{0}{5} = 0 \) → nguyên
- Nếu \( x = -3 \): \( \frac{0}{3} = 0 \) → nguyên

Giá trị nguyên của \( x \): \( -3, -2, -1, 0, 1 \).

---

**Bài 4**: Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( \frac{x^2 - 5x + 6}{-x^2 + 9} \) có giá trị nguyên.

Điều kiện là \( -x^2 + 9 \neq 0 \) (tức \( x \neq \pm 3 \)).

Ta có:
\[ \frac{(x-2)(x-3)}{-(x-3)(x+3)} = \frac{-(x-2)}{x+3} \]

Giá trị nguyên của biểu thức sẽ có khi \( - (x - 2) \) chia hết cho \( x + 3 \).

- Thử các giá trị nguyên không phải là \( 3 \):
- Nếu \( x = 0 \): \( \frac{-2}{3} \) → không nguyên
- Nếu \( x = -1 \): \( \frac{3}{2} \) → không nguyên
- Nếu \( x = -2 \): \( 2 \) → nguyên
- Nếu \( x = -4 \): \( \frac{6}{-1} = -6 \) → nguyên

Giá trị nguyên của \( x \): \( -4, -2 \).

---

**Bài 5**: Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1} \) có giá trị nguyên.

Luôn đảm bảo rằng mẫu không bằng 0 (luôn dương).

Ta phân tích:
\[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2 + 1} \]

Ta cần \( x^2 + 1 \) chia hết cho \( (x-3)(x+3) \).

- Thử các giá trị \( x \):
- Nếu \( x = 0 \): \( \frac{-9}{1} = -9 \) → nguyên
- Nếu \( x = 3 \): \( \frac{0}{10} = 0 \) → nguyên
- Nếu \( x = -3 \): \( \frac{0}{10} = 0 \) → nguyên

Giá trị nguyên của \( x \): \( -3, 0, 3 \).

---

Tóm lại, các giá trị nguyên của \( x \) cho từng bài như sau:
- Bài 1: \( 1, 2, 4, 5 \)
- Bài 2: \( -3, 1 \)
- Bài 3: \( -3, -2, -1, 0, 1 \)
- Bài 4: \( -4, -2 \)
- Bài 5: \( -3, 0, 3 \)