Gọi vận tốc của ô tô là \( v_o \) (km/h) và vận tốc của xe máy là \( v_m \) (km/h).

Theo bài toán, khi ô tô và xe máy khởi hành và đi ngược chiều nhau, sau 2 giờ, tổng quãng đường họ đã đi được là 200 km. Do đó, ta có phương trình:

\[
v_o \cdot 2 + v_m \cdot 2 = 200
\]

Rút gọn phương trình này, ta có:

\[
2v_o + 2v_m = 200 \implies v_o + v_m = 100 \quad (1)
\]

Tiếp theo, theo giả thiết, nếu vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h và vận tốc xe máy giảm đi 5 km/h, thì vận tốc ô tô mới bằng 2 lần vận tốc xe máy mới. Ta có phương trình:

\[
v_o + 10 = 2(v_m - 5) \quad (2)
\]

Giải phương trình (2):

\[
v_o + 10 = 2v_m - 10
\]
\[
v_o = 2v_m - 20 \quad (3)
\]

Bây giờ, ta thay phương trình (3) vào phương trình (1):

\[
(2v_m - 20) + v_m = 100
\]
\[
3v_m - 20 = 100
\]
\[
3v_m = 120
\]
\[
v_m = 40 \quad (km/h)
\]

Thay giá trị của \( v_m \) vào phương trình (1) để tìm \( v_o \):

\[
v_o + 40 = 100
\]
\[
v_o = 60 \quad (km/h)
\]

Tóm lại, vận tốc ô tô là \( 60 \) km/h và vận tốc xe máy là \( 40 \) km/h.