Để chứng minh các tính chất của tam giác \( \triangle ABC \) và tứ giác \( BCMN \), ta sẽ làm theo từng phần:

### Bài 1:
**a)** Chứng minh \( \triangle AMN \) là tam giác cân.

- Trong tam giác cân \( \triangle ABC \) tại đỉnh \( A \), ta có \( AB = AC \).
- Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AC \) và \( AB \).
- Vậy, \( AM = AN \) (vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \) và \( AB \)).
- Do đó, \( \triangle AMN \) là tam giác cân tại \( A \).

**b)** Chứng minh tứ giác \( BCMN \) là hình thang cân.

- Ta có \( BM \) và \( CN \) là hai đường trung tuyến.
- Do \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AC \) và \( AB \), ta suy ra \( BM \parallel CN \) và \( BM = CN \).
- Như vậy, tứ giác \( BCMN \) có hai cạnh đối song song và bằng nhau, do đó, \( BCMN \) là hình thang cân.

### Bài 2:
**Chứng minh \( \triangle AID = \triangle BEC \)**.

- Trong hình thang cân \( ABCD \), ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \) là đường cao.
- Gọi \( I \) và \( E \) lần lượt là giao điểm của \( AD \) với \( BC \) và \( AC \).
- Từ tính chất của hình thang cân, ta có \( AI = BE \) và \( AB = CD \).
- Do đó, \( \triangle AID \) và \( \triangle BEC \) có các cạnh tương ứng bằng nhau, từ đó suy ra \( \triangle AID = \triangle BEC \).

### Bài 3:
**a)** Chứng minh \( \angle EAB \) cân tại \( E \).

- Theo định nghĩa, khi \( E \) là giao điểm của \( AD \) và \( BC \), \( E \) trở thành tâm đối xứng.
- Vậy, \( EA = EB \) sẽ dẫn đến việc \( \angle EAB \) là góc cân.

**b)** Chứng minh \( \angle ABD = \angle BAC \).

- Do \( AB \parallel CD \), ta có hai góc đồng vị bằng nhau.
- Vậy, \( \angle ABD = \angle BAC \).

**c)** Chứng minh \( KC = KD \).

- Dựa theo trung trực của đoạn thẳng \( AC \), ta biết rằng \( K \) nằm trên đoạn thẳng này sẽ có khoảng cách tới \( A \) và \( C \) bằng nhau.
- Do đó, \( KC = KD \).

Hy vọng các bước chứng minh trên sẽ giúp bạn hoàn thành bài tập một cách dễ dàng!