Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một.

### A) Chứng minh rằng các tứ giác AFMD, BDME, CEMF là các hình thang cân.

1. **Tứ giác AFMD**:
- AF // MD (do AF và MD đều song song với AC)
- AM // DF (do AM và DF đều song song với BC)
- Do đó, AFMD là hình thang.

2. **Tứ giác BDME**:
- BD // ME (do BD và ME đều song song với AB)
- BM // DE (do BM và DE đều song song với AC)
- Do đó, BDME là hình thang.

3. **Tứ giác CEMF**:
- CE // MF (do CE và MF đều song song với BC)
- CM // EF (do CM và EF đều song song với AB)
- Do đó, CEMF là hình thang.

Như vậy, tất cả các tứ giác đó đều là hình thang.

### B) Chứng minh rằng góc DME = góc FME = góc DMF.

- **Cách giải thích**:
- Từ các đường song song mà chúng ta đã kẻ, ta có thể nhận thấy rằng do tính chất các góc so le, nên:
- \( \angle DME \) = \( \angle FMA \) (góc trong cùng bên)
- \( \angle FME \) = \( \angle AMF \) (góc trong cùng bên)
- Bên cạnh đó, chúng ta có:
- \( \angle DMF \) = \( \angle DME \) do \( DF \parallel AC \) và các cặp góc so le lớn nhất.

Kết quả là:
- \( \angle DME = \angle FME = \angle DMF \).

### C) Tìm vị trí của M để tam giác DEF là tam giác đều và tính chu vi của tam giác DEF theo chiều cao AH của tam giác ABC.

Để tam giác DEF là tam giác đều, M cần nằm tại tâm của tam giác ABC (tức là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đều ABC). Khi M là tâm của tam giác, các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác sẽ bằng nhau, dẫn đến tam giác DEF sẽ có ba cạnh bằng nhau.

Vì tam giác ABC đều nên:
- Chiều cao \( AH \) được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a
\]
với a là cạnh của tam giác đều.

Khi DEF là tam giác đều, các cạnh DE, EF, FD đều bằng một nửa chiều cao của tam giác ABC:
\[
DE = EF = FD = \frac{AH}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a
\]

### Chu vi của tam giác DEF:
\[
P_{DEF} = DE + EF + FD = 3 \cdot DE = 3 \cdot \frac{AH}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot a
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh được:
- A: Các tứ giác là hình thang.
- B: Đã chứng minh các góc bằng nhau.
- C: M phải là tâm của tam giác ABC để DEF là tam giác đều và chu vi là \(\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot a\).