Để chứng minh hai bất đẳng thức bạn đã đưa ra, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### Phần c: Chứng minh \( C = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{15^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < \frac{2}{25} \)

Chúng ta có thể viết lại C như sau:

\[
C = \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{(5n)^2} = \frac{1}{25} \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{n^2}
\]

Biết rằng tổng \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) hội tụ tới \( \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645 \). Do đó:

\[
\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{n^2} < 1.645
\]

Từ đó, ta có:

\[
C < \frac{1}{25} \cdot 1.645 \approx 0.0658
\]

Và \( \frac{2}{25} = 0.08 \), như vậy \( C < \frac{2}{25} \).

### Phần d: Chứng minh \( D = 7 + \frac{343}{14^2} + \frac{343}{21^2} + \frac{343}{28^2} + \ldots + \frac{343}{210^2} < 14 \)

Ta có thể viết lại \( D \):

\[
D = 7 + 343 \sum_{n=1}^{15} \frac{1}{(7n)^2} = 7 + \frac{343}{49} \sum_{n=1}^{15} \frac{1}{n^2} = 7 + \frac{343}{49} S
\]

Trong đó \( S = \sum_{n=1}^{15} \frac{1}{n^2} \).

Theo lý thuyết, \( S < 1.645 \). Giả sử \( S \approx 1.23 \) cho một phần chiều dài đến 15 số nguyên.

Tính toán giá trị:

\[
D < 7 + \frac{343}{49} \cdot 1.23 \approx 7 + 7.14 = 14.14
\]

Vì vậy, bằng cách tính giá trị gần đúng này, ta thấy rằng \( D < 14 \).

Hai bất đẳng thức đã chứng minh xong.