Để giải bài toán này, ta cần tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình:

\[
x^2 + 2y^2 - 2xy + 2x - 6y + 4 = 0
\]

Chúng ta có thể phân tích và chuyển đổi biểu thức này để tìm các giá trị phù hợp cho \(x\) và \(y\).

1. **Sắp xếp lại phương trình**:

\[
x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 6y + 4 = 0
\]

2. **Sử dụng công thức hoàn thành bình phương** cho các biểu thức \(x\) và \(y\):

- Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\):
\[
x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 6y + 4 = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 2x - 6y + 4)
\]
- Ta có thể viết lại như sau:
\[
(x - y)^2 + (y^2 - 6y + 4 + 2x) = 0
\]

3. **Giải hệ gồm hai biểu thức**:

- Hạng tử \((x - y)^2\) luôn không âm.
- Hạng tử còn lại cũng phải không âm. Giải phương trình:
\[
y^2 - 6y + (4 + 2x) = 0
\]

4. **Tính delta**:

\[
\Delta = 36 - 4(4 + 2x) = 36 - 16 - 8x = 20 - 8x
\]

Để phương trình có nghiệm thực, ta có:
\[
20 - 8x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2.5
\]
Vì \(x\) là số nguyên, ta có \(x \leq 2\).

5. **Xét các giá trị của \(x\)**:

- **Khi \(x = 0\)**:
\[
y^2 - 6y + 4 = 0 \Rightarrow \Delta = 36 - 16 = 20 \text{ (có hai nghiệm)}
\]

- **Khi \(x = 1\)**:
\[
y^2 - 6y + 6 = 0 \Rightarrow \Delta = 36 - 24 = 12 \text{ (có hai nghiệm)}
\]

- **Khi \(x = 2\)**:
\[
y^2 - 6y + 8 = 0 \Rightarrow \Delta = 36 - 32 = 4 \text{ (có hai nghiệm)}
\]

6. **Tính các nghiệm cho mỗi giá trị của \(x\)**:

- Từ việc tính \(\Delta\) với mỗi giá trị chấp nhận được cho \(x\), ta có thể tìm các cặp số nguyên thỏa mãn thông qua công thức nghiệm.

Cuối cùng, thay x và giải ra y cho từng trường hợp x = 0, 1, 2 sẽ cho ra các cặp \((x,y)\) phù hợp. Cần giải từng nghiệm cụ thể!