Chúng ta sẽ chứng minh các mệnh đề trong bài toán này.

### a) Chứng minh \( BD = CE \)

Trong tam giác \( ABC \) có \( \angle B = \angle C \), do đó \( AB = AC \) (theo định nghĩa của tam giác cân).

Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \), tức là \( BI = IC \).

Gọi \( D \) là một điểm nằm trên đoạn thẳng \( AB \), và điểm \( E \) là điểm nằm trên tia \( DI \) sao cho \( ID = IE \).

Xét tam giác \( IDE \):

- \( ID = IE \) (do giả thiết).
- \( I \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BI = IC \).

Bởi tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) mà \( I \) cũng nằm giữa \( B \) và \( C \) thì \( AI \) là phân giác của \( \angle BAC \).

Chúng ta có thể sử dụng định lý về các cạnh của tam giác và tính chất đối xứng:

- Gọi \( BI = x \) và \( IC = x \) (vì \( I \) là trung điểm).
- Ta có \( BD \) và \( CE \) là hai đoạn thẳng xuất phát từ \( B \) và điểm \( E \) giống nhau về khoảng cách từ \( I \).

Từ các chi tiết trên, chúng ta có:

\[
BD = ID \quad \text{và} \quad CE = IE
\]

Do đó, vì \( ID = IE \) nên suy ra:

\[
BD = CE
\]

### b) Chứng minh \( CB \) là phân giác của góc \( ACE \)

Để chứng minh \( CB \) là phân giác của góc \( ACE \), ta sử dụng tính chất của tam giác cân và các đoạn thẳng trên.

Từ giả thiết, chúng ta biết rằng:

1. \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \), vì \( \angle B = \angle C \).
2. \( D \) nằm trên \( AB \) và \( E \) nằm trên tia \( DI \) sao cho \( ID = IE \).

Tiếp theo, chúng ta sử dụng thuộc tính của angle bisector theo định nghĩa:

- Gọi \( I \) là phân điểm của cạnh \( BC \), \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \).

Vì tam giác \( ABC \) là tam giác đều có \( \angle B = \angle C \) và \( AB = AC \), do đó:

\[
\frac{BD}{DC} = 1
\]

Như vậy, \( CB \) là phân giác của góc \( ACE \) vì nó chia đôi đoạn thẳng \( ACE \) thành hai góc bằng nhau.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:

1. \( BD = CE \).
2. \( CB \) là phân giác của góc \( ACE \).

Điều này hoàn thành bài chứng minh.