Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( BE = CD \) và \( AD = AE \)

Xét tam giác vuông cân \( ABC \) với \( AB = AC \). Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là giao điểm của tia phân giác các góc \( B \) và \( C \) với các cạnh \( AC \) và \( AB \).

1. **Chứng minh \( AD = AE \)**:
- Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông cân nên \( AB = AC \).
- Tia phân giác của góc \( B \) sẽ chia góc \( B \) thành hai góc bằng nhau và tương tự cho góc \( C \).
- Do đó, theo định lý tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = 1 \implies AD = AE.
\]

2. **Chứng minh \( BE = CD \)**:
- Tương tự, xét tam giác \( DAB \) và \( DAC \):
- Trong tam giác vuông \( DAB \) và \( DAC \), theo định lý tia phân giác, ta cũng có:
\[
\frac{BE}{CD} = \frac{AB}{AC} = 1 \implies BE = CD.
\]

### b) Chứng minh rằng các tam giác \( \Delta MAB \) và \( \Delta MAC \) là tam giác vuông cân.

- Gọi \( I \) là giao điểm của \( BE \) và \( CD \).
- Theo định nghĩa, \( AI \) cắt \( BC \) tại \( M \).
- Tam giác \( MAB \) và \( MAC \) sẽ cùng có cạnh \( MA \) và các cạnh \( MB \), \( MC \) là các cạnh nằm trên đường vuông góc với \( AI \).
- Vì \( \angle BAI = \angle CAI \) (do \( AI \) là tia phân giác) nên \( \triangle MAB \cong \triangle MAC \) theo tiêu chí góc - cạnh - góc (góc vuông).
- Từ đó, ta có \( MB = MA \) và \( MC = MA \). Kết luận là \( MAB \) và \( MAC \) đều là tam giác vuông cân.

### c) Chứng minh rằng \( KH = KC \).

- Gọi \( K \) và \( H \) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng vẽ từ \( A \) và \( D \) vuông góc với \( BE \) cắt \( BC \).
- Do \( AD \) là đường phân giác và đã chứng minh \( AD = AE \) nên \( D \) là trung điểm. Khi đó, các đường thẳng vuông góc từ \( A \) và \( D \) từ điểm \( A \) và \( D \) đến \( BC \) sẽ tạo thành các đoạn thẳng bằng nhau.

Vì vậy,
\[
KH = KC.
\]

### Kết luận

Ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán:

- \( BE = CD \) và \( AD = AE \).
- Các tam giác \( MAB \) và \( MAC \) là tam giác vuông cân.
- \( KH = KC \).