Tìm m để phương trình có nghiệm

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình

\[
\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \frac{m}{2} + 2 = 0
\]

có nghiệm, ta cần đơn giản hóa phía bên trái của phương trình này.

### Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức

Sử dụng công thức bậc 3 và bậc 2 của hàm lượng giác:

\[
\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) = 1 \cdot (\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)
\]

Vì \(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\), ta có:

\[
\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:

\[
1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \frac{m}{2} + 2 = 0
\]

Điều này đơn giản hóa thành:

\[
3 - \frac{m}{2} = 0
\]

### Bước 3: Giải cho \( m \)

Giải phương trình này để tìm \( m \):

\[
\frac{m}{2} = 3 \implies m = 6
\]

### Kết luận

Giá trị của \( m \) để phương trình có nghiệm là \( m = 6 \).