Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) cắt nhau tại một điểm trên trục \( Oy \), ta sẽ giải bài toán theo các bước sau:

1. **Tìm tọa độ giao điểm**: Đường thẳng \( d_1 \) có phương trình \( 6x + 4y = 2 \), và đường thẳng \( d_2 \) có phương trình \( 2x + 2y = m \).

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm điểm giao nhau.

2. **Biến đổi phương trình của \( d_1 \)**:

Từ phương trình \( 6x + 4y = 2 \), ta có thể tìm \( y \):

\[
4y = 2 - 6x \implies y = \frac{2 - 6x}{4} = \frac{1 - 3x}{2}
\]

3. **Thay \( y \) vào phương trình của \( d_2 \)**:

Thay \( y = \frac{1 - 3x}{2} \) vào phương trình \( d_2 \):

\[
2x + 2\left(\frac{1 - 3x}{2}\right) = m
\]

Đơn giản hóa:

\[
2x + (1 - 3x) = m
\]

\[
-x + 1 = m \implies x = 1 - m
\]

4. **Tìm giá trị của \( y \)**:

Thay giá trị của \( x \) vào phương trình \( y \):

\[
y = \frac{1 - 3(1 - m)}{2} = \frac{1 - 3 + 3m}{2} = \frac{3m - 2}{2}
\]

5. **Điểm giao nhau nằm trên trục \( Oy \)**:

Để điểm giao nhau nằm trên trục \( Oy \), ta cần có \( x = 0 \):

\[
1 - m = 0 \implies m = 1
\]

Vậy giá trị của \( m \) là:

\[
\boxed{1}
\]