Bắt đầu với phương trình:

\[
\frac{2}{3} \left( \frac{3}{5} x + \frac{1}{4} \right) = \frac{5}{6} x + \frac{8}{9}
\]

Bước 1: Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số:

\[
2 \left( \frac{3}{5} x + \frac{1}{4} \right) = \frac{5}{2} x + 8
\]

Bước 2: Nhân phân phối ở bên trái:

\[
2 \cdot \frac{3}{5} x + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{2} x + 8
\]

\[
\frac{6}{5} x + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} x + 8
\]

Bước 3: Đưa tất cả các thành phần chứa \(x\) về một bên và các số hạng còn lại về bên kia. Trước tiên, ta sẽ chuyển \(\frac{5}{2} x\) sang bên trái bằng cách trừ đi:

\[
\frac{6}{5} x - \frac{5}{2} x + \frac{1}{2} = 8
\]

Bước 4: Chuyển đổi \(\frac{5}{2} x\) sang mẫu số 10:

\[
\frac{6}{5} x - \frac{25}{10} x + \frac{1}{2} = 8
\]

Chuyển đổi \(\frac{6}{5}\) sang mẫu số 10:

\[
\frac{12}{10} x - \frac{25}{10} x + \frac{1}{2} = 8
\]

Bây giờ, ta có:

\[
\frac{12 - 25}{10} x + \frac{1}{2} = 8
\]

\[
-\frac{13}{10} x + \frac{1}{2} = 8
\]

Bước 5: Trừ \(\frac{1}{2}\) ở cả hai bên:

\[
-\frac{13}{10} x = 8 - \frac{1}{2}
\]

Bước 6: Chuyển đổi \(8\) sang cùng mẫu với \(\frac{1}{2}\):

\[
8 = \frac{16}{2}
\]

Vì vậy, ta có:

\[
-\frac{13}{10} x = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}
\]

Bước 7: Nhân cả hai bên với -\(\frac{10}{13}\):

\[
x = -\frac{10}{13} \cdot \frac{15}{2} = -\frac{150}{26} = -\frac{75}{13}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = -\frac{75}{13}
\]