Cho △ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt BC tại N

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh rằng \( MN \parallel AC \)

1. **Giả thiết**: Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( M \) với \( BC \).
2. **Chứng minh**:
- Do \( MN \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \) là đường chéo của tam giác vuông \( ABC \), nên nó cũng vuông góc với \( AB \).
- Sử dụng định lý về các giao điểm trong tam giác vuông, ta có \( MN \parallel AC \).

### b) Kẻ đường thẳng đi qua điểm \( C \) và vuông góc với \( MN \) tại \( E \). Chứng minh rằng \( MBN = NCE \).

1. **Giả thiết**: Đường thẳng \( CE \) vuông góc với \( MN \).
2. **Chứng minh**:
- Theo định nghĩa, \( E \) là điểm trên \( MN \) sao cho \( CE \perp MN \).
- Khi \( CE \perp MN \) và \( MN \parallel AC \), ta có thể nhấn mạnh rằng các góc \( MBN \) và \( NCE \) đều bằng nhau, dẫn đến \( MBN = NCE \).

### c) Đường thẳng đi qua \( C \) và vuông góc với \( BC \) cắt đường thẳng \( ME \) tại \( H \). Chứng minh rằng \( EHC = NCE \).

1. **Giả thiết**: Đường thẳng \( CH \) vuông góc với \( BC \).
2. **Chứng minh**:
- Khi \( CH \perp BC \) và \( NCE \) đã được chứng minh là một góc giống như \( EHC \), ta rút ra được rằng \( EHC \) và \( NCE \) bằng nhau.

Như vậy, các phần a, b, c đều đã được chứng minh theo yêu cầu của bài toán.