Để chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông, chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm:** Giả sử cạnh của hình vuông ABCD là \( a \). Ta có:
- Điểm A có tọa độ \( (0, 0) \)
- Điểm B có tọa độ \( (a, 0) \)
- Điểm C có tọa độ \( (a, a) \)
- Điểm D có tọa độ \( (0, a) \)

Gọi độ dài của đoạn thẳng \( AM = BN = CP = DQ = x \).

2. **Tọa độ các điểm M, N, P, Q:**
- \( M \) thuộc \( AB \) có tọa độ \( (x, 0) \).
- \( N \) thuộc \( BC \) có tọa độ \( (a, x) \).
- \( P \) thuộc \( CD \) có tọa độ \( (a - x, a) \).
- \( Q \) thuộc \( DA \) có tọa độ \( (0, a - x) \).

3. **Chứng minh MNPQ là hình bình hành:**
Để chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành, chúng ta sẽ chứng minh rằng trung điểm của đường chéo MP và đường chéo NQ trùng nhau.
- Trung điểm MP là:
\[
\text{MT}_{MP} = \left( \frac{x + (a - x)}{2}, \frac{0 + a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)
\]
- Trung điểm NQ là:
\[
\text{MT}_{NQ} = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{x + (a - x)}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)
\]
Vì vậy, hai trung điểm này trùng nhau, do đó MNPQ là hình bình hành.

4. **Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật:**
Để chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh đối diện của tứ giác là song song và có chiều dài bằng nhau.
- Tính độ dài các cạnh:
- Độ dài cạnh MN:
\[
MN = \sqrt{(a - x - x)^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{(a - 2x)^2 + x^2} = \sqrt{a^2 - 4ax + 4x^2 + x^2} = \sqrt{a^2 - 4ax + 5x^2}
\]
- Độ dài cạnh PQ:
\[
PQ = \sqrt{(0 - (a - x))^2 + ((a - x) - a)^2} = \sqrt{(x - a)^2 + (-x)^2} = \sqrt{(x - a)^2 + x^2} = \sqrt{(x^2 - 2ax + a^2) + x^2} = \sqrt{2x^2 - 2ax + a^2}
\]
- Cạnh MP:
\[
MP = \sqrt{(a - x - x)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{(a - 2x)^2 + a^2}
\]
- Cạnh NQ:
\[
NQ = \sqrt{(0 - a)^2 + ((a - x) - x)^2} = \sqrt{a^2 + (a - 2x)^2}
\]

Như vậy, tứ giác MNPQ có hai cạnh đối diện bằng nhau.

5. **Chứng minh MNPQ là hình vuông:**
Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh mọi góc của tứ giác MNPQ đều bằng \( 90^\circ \). Đây là điều sẽ xảy ra vì MNPQ được tạo thành từ các đoạn thằng vuông vắn. Do các đoạn thẳng MN và PQ là song song, đồng thời MP và NQ cũng song song.

Vì vậy, tứ giác MNPQ là một hình vuông.