Để giải bài toán này, ta cần xác định số tấn mủ cao su mà nông trường khai thác mỗi ngày.

Gọi \( x \) là số ngày theo kế hoạch để khai thác 260 tấn mủ. Khi đó, năng suất mỗi ngày là \( \frac{260}{x} \) tấn.

Theo đề bài, nông trường khai thác vượt mức 3 tấn mỗi ngày. Vậy năng suất thực tế mỗi ngày là:

\[
\frac{260}{x} + 3
\]

Trong thời gian \( x - 1 \) ngày, nông trường đã khai thác được 261 tấn. Do đó, ta có phương trình:

\[
(x - 1) \left( \frac{260}{x} + 3 \right) = 261
\]

Giải phương trình này:

1. Nhân \( (x - 1) \) vào biểu thức bên trái:
\[
(x - 1) \cdot \frac{260}{x} + 3(x - 1) = 261
\]

2. Đưa về dạng đơn giản:
\[
\frac{260(x - 1)}{x} + 3x - 3 = 261
\]

3. Nhân cả hai vế với \( x \) để loại bỏ mẫu:
\[
260(x - 1) + 3x^2 - 3x = 261x
\]

4. Rút gọn:
\[
3x^2 - 4x - 260 = 0
\]

5. Áp dụng công thức nghiệm bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-260)}}{2 \cdot 3}
\]

6. Tính toán:
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 3120}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{3136}}{6} = \frac{4 \pm 56}{6}
\]

7. Giải ra:
\[
x = \frac{60}{6} = 10 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-52}{6} \text{ (không hợp lệ)}
\]

Vậy \( x = 10 \) ngày.

Số tấn khai thác mỗi ngày là:
\[
\frac{260}{10} = 26 \text{ tấn}
\]

Do đó, nông trường khai thác:
\[
26 + 3 = 29 \text{ tấn mỗi ngày}.
\]

Kết luận: Nông trường khai thác 29 tấn mủ cao su mỗi ngày.