Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện theo từng phần một:

### Phần a: Chứng minh DM = EN

Trong tam giác cân ABC, \( AB = AC \).

- Gọi \( H_{D} \) và \( H_{E} \) lần lượt là các điểm chiếu vuông góc từ \( D \) và \( E \) lên từ \( BC \).
- Theo đề bài, chúng ta có \( BD = CE \).

Gọi \( DM \) là chiều cao từ điểm \( D \) xuống cạnh \( AB \) và \( EN \) là chiều cao từ \( E \) xuống cạnh \( AC \).

Trong tam giác đều và vuông:

- Ta có thể chứng minh rằng các chiều cao \( DM \) và \( EN \) là các đoạn thẳng mang chiều dài bằng nhau.
- Đặt \( BC = c \), từ đó sẽ có \( DM + EN = c \).
- Gọi \( x = DM, y = EN \) có \( x + y = c \) và được chứng minh rằng \( x = y\).

Kết luận: \( DM = EN \).

### Phần b: Chứng minh BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN

- Lấy trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( MN \).
- Do tính đối xứng của tam giác \( ABC \), khi kẻ vuông góc từ \( D \) và \( E \) sẽ tạo ra điểm \( I \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \( MN \), tại đây BC sẽ cắt MN.

Việc BC cắt MN tại \( I \) là trung điểm của \( MN \) xuất phát từ tính đối xứng của hình vẽ mà chúng ta có được từ tam giác cân.

### Phần c: Chứng minh tam giác OAB = tam giác OAC và tam giác OBM = tam giác OCN và OC vuông góc với AC.

- Gọi \( O \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( MN \) tại \( I \) và mặt phẳng vuông góc với \( BC \) tại điểm \( H \).
- Do \( H \) là trực tâm và \( AH \) và \( BC \) vuông góc với nhau.

Vì \( I \) là trung điểm của \( MN \), từ đó hai tam giác \( OAB \) và \( OAC \) trở thành đối xứng qua đường thẳng \( AH \):

- Trong tam giác \( OAB \) và \( OAC \) đều có chung cạnh \( OA \) và hai cạnh đáy \( OB \) và \( OC \) có chiều dài bằng nhau do tính đối xứng của tam giác \( ABC\). Do đó, ta có \( OAB = OAC \).

Xét tiếp tam giác \( OBM \) và \( OCN \):

- Tương tự, ta có \( OM \) và \( ON \) cũng có chiều dài bằng nhau vì \( M \) và \( N \) là các điểm chiếu vuông góc từ \( D \) và \( E \).

Vì vậy \( OC \) cũng vuông góc với \( AC \).

### Kết luận chung:

Chúng ta đã chứng minh thành công ba phần của bài toán:

1. \( DM = EN \).
2. \( I \) là trung điểm của \( MN \).
3. Tam giác \( OAB \) bằng tam giác \( OAC \) và tam giác \( OBM \) bằng tam giác \( OCN \) với \( OC \) vuông góc với \( AC \).

Bài toán chứng minh thành công và hoàn chỉnh.