Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( G(x) = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) - 2006 \), trước tiên bạn cần giải bài toán liên quan đến đa thức.

1. **Tính giá trị của đa thức \( G(x) \)**: Ta khai triển \( (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) \).

Đặt:
\[
f(x) = (x-1)(x+6) = x^2 + 5x - 6
\]
và
\[
g(x) = (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6
\]

Ta có:
\[
(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = f(x)g(x)
\]
ở dạng:
\[
(x^2 + 5x - 6)(x^2 + 5x + 6)
\]
Để dễ tính toán, ta đặt \( t = x^2 + 5x \). Khi đó:
\[
f(t) = (t - 6)(t + 6) = t^2 - 36
\]
Do đó,
\[
G(x) = t^2 - 36 - 2006 = t^2 - 2042
\]

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( G(x) \)**:
- Với \( t = x^2 + 5x \), \( t \) có thể đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = -\frac{5}{2} \), và giá trị đó là:
\[
t = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} = -\frac{25}{4}
\]

3. **Thay giá trị của \( t \) vào \( G(x) \)**:
\[
G(x) = \left(-\frac{25}{4}\right)^2 - 2042 = \frac{625}{16} - 2042
\]

Quy đồng với mẫu 16:
\[
-2042 = -\frac{2042 \cdot 16}{16} = -\frac{32672}{16}
\]
Vậy:
\[
G(x) = \frac{625 - 32672}{16} = \frac{625 - 32672}{16} = \frac{-32047}{16}
\]

4. **Giá trị nhỏ nhất của biểu thức** là:
\[
\left| G(x) \right| = \left| \frac{-32047}{16} \right| = \frac{32047}{16}
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( \frac{32047}{16} \).