Tìm dư trong phép chia 3^2024 cho 13; phép chia 5^2024 cho 7

Để tìm dư của \( 3^{2024} \) chia cho 13 và \( 5^{2024} \) chia cho 7, chúng ta sẽ sử dụng Định lý nhỏ Fermat.

### 1. Tìm dư của \( 3^{2024} \) chia cho 13

Theo Định lý nhỏ Fermat, nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là số nguyên không chia hết cho \( p \), thì
\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p.
\]
Ở đây, \( p = 13 \) và \( a = 3 \). Ta có:
\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13.
\]
Để tính \( 3^{2024} \mod 13 \), ta cần tìm \( 2024 \mod 12 \):
\[
2024 \div 12 = 168 \quad \text{với dư } 0.
\]
Vậy:
\[
2024 \equiv 0 \mod 12.
\]
Từ đó, ta có:
\[
3^{2024} \equiv (3^{12})^{168} \equiv 1^{168} \equiv 1 \mod 13.
\]
**Vậy dư của \( 3^{2024} \) chia cho 13 là 1.**

### 2. Tìm dư của \( 5^{2024} \) chia cho 7

Áp dụng Định lý nhỏ Fermat cho \( p = 7 \) và \( a = 5 \):
\[
5^{6} \equiv 1 \mod 7.
\]
Tính \( 2024 \mod 6 \):
\[
2024 \div 6 = 337 \quad \text{với dư } 2.
\]
Vậy:
\[
2024 \equiv 2 \mod 6.
\]
Vậy ta có:
\[
5^{2024} \equiv 5^{2} \mod 7.
\]
Tính \( 5^2 \):
\[
5^2 = 25.
\]
Tiếp theo, tính \( 25 \mod 7 \):
\[
25 \div 7 = 3 \quad \text{với dư } 4.
\]
**Vậy dư của \( 5^{2024} \) chia cho 7 là 4.**

### Kết luận
- Dư của \( 3^{2024} \) chia cho 13 là **1**.
- Dư của \( 5^{2024} \) chia cho 7 là **4**.