Để giải bài toán, ta bắt đầu với các thông tin đã cho:

**Tứ giác ABCD có chu vi:**
\[
AB + BC + CD + DA = 66 \text{ cm}
\]

**Chu vi tam giác ABC:**
\[
AB + BC + AC = 56 \text{ cm}
\]

**Chu vi tam giác ACD:**
\[
AC + CD + DA = 60 \text{ cm}
\]

Bây giờ ta có thể thiết lập các phương trình như sau:

1. Từ chu vi tứ giác:
\[
AB + BC + CD + DA = 66 \tag{1}
\]

2. Từ chu vi tam giác ABC:
\[
AB + BC + AC = 56 \tag{2}
\]

3. Từ chu vi tam giác ACD:
\[
AC + CD + DA = 60 \tag{3}
\]

Bây giờ, để tìm độ dài \( AC \), ta sẽ loại bỏ các biến khác.

**Bước 1:** Từ phương trình (2), ta có:
\[
AB + BC = 56 - AC \tag{4}
\]

**Bước 2:** Từ phương trình (3), ta có:
\[
CD + DA = 60 - AC \tag{5}
\]

**Bước 3:** Thay (4) và (5) vào (1):
\[
(56 - AC) + (60 - AC) = 66
\]
\[
116 - 2AC = 66
\]

**Bước 4:** Giải phương trình:
\[
116 - 66 = 2AC
\]
\[
50 = 2AC
\]
\[
AC = 25 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài \( AC \) là:
\[
\boxed{25 \text{ cm}}
\]