Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

**a. Tính độ dài mỗi đáy AB, CD:**

Gọi:
- Đáy lớn \( CD = a\)
- Đáy bé \( AB = b = \frac{3}{5}a\)

Diện tích hình thang được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{(a + b) \times h}{2}
\]

Trong đó:
- \( S = 336 \, cm^2 \)
- \( h = 12 \, cm \)

Thay \( b \) vào công thức diện tích:
\[
336 = \frac{(a + \frac{3}{5}a) \times 12}{2}
\]

Giải phương trình:
\[
336 = \frac{\left(\frac{5}{5}a + \frac{3}{5}a\right) \times 12}{2}
\]
\[
336 = \frac{\frac{8}{5}a \times 12}{2}
\]
\[
336 = \frac{96a}{5}
\]

Nhân hai bên phương trình với 5:
\[
1680 = 96a
\]

Chia cả hai bên cho 96:
\[
a = \frac{1680}{96} = 17.5 \, cm
\]

Tính độ dài đáy bé:
\[
b = \frac{3}{5}a = \frac{3}{5} \times 17.5 = 10.5 \, cm
\]

Vậy:
- Đáy lớn \( CD = a = 17.5 \, cm \)
- Đáy bé \( AB = b = 10.5 \, cm \)

**b. Tính diện tích tam giác MAB:**

Theo giả thiết, kéo dài \( DA \) và \( CB \) cắt nhau tại \( M \), với \( DA = \frac{1}{2}DM \).

Gọi \( DM = x \) thì:
\[
DA = \frac{1}{2}x \quad \Rightarrow \quad AM = DA + DM = \frac{1}{2}x + x = \frac{3}{2}x
\]

Tính chiều cao \( h' \) từ \( M \) đến đáy \( AB \) là chiều cao của tam giác MAB.

Ta biết rằng chiều cao h từ đường nối giữa hai đáy hằng số là 12 cm. Do hiệu ứng kéo dài, chiều cao \( h' \) có thể tính như sau:
Nó được tính từ chiều cao của hình thang và hình dạng tam giác tương tự.

Xét diện tích tam giác \( MAB \):
\[
S_{MAB} = \frac{1}{2} \times AB \times h'
\]

Từ tỉ lệ giữa độ dài cạnh và chiều cao:
\[
h' = \frac{12 \cdot AD}{AD + DM} = \frac{12 \cdot \frac{1}{2}x}{x + \frac{1}{2}x} = \frac{12 \cdot \frac{1}{2}x}{\frac{3}{2}x} = \frac{12}{3} = 4 \, cm
\]

Tính diện tích tam giác \( MAB \):
\[
S_{MAB} = \frac{1}{2} AB \times h' = \frac{1}{2} \times 10.5 \times 4 = 21 \, cm^2
\]

Vậy:
- Diện tích tam giác MAB là \( 21 \, cm^2 \).

Tóm tắt:
- Đáy lớn \( CD = 17.5 \, cm \)
- Đáy bé \( AB = 10.5 \, cm \)
- Diện tích tam giác \( MAB = 21 \, cm^2 \)